TEORÍA COMBINATORIA - MATEMÁTICAS

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Combinaciones Equivalentes

Dos combinaciones C_(m,n_1 y ) C_(m,n_2 ) son equivalentes si n_1+n_2=m.

C_(m,n_1 )=m!/((m-n_1 )!n_1 !) n_1=m-n_2

sustituyendo: C_(m,〖m-n〗_2 )=m!/((m-m+n_2 )! (m-n_2 )!)=m!/(n_2 !(m-n_2 )!) esta última expresión es el desarrollo de C_(m,n_1 ),

así C_(m,n_2 )=m!/((m-n_2 )!n_2 !) , por lo que se tiene la siguiente propiedad c_(m,n)=C_(m,m-n)

Ejms: a) C_15,7=C_15,8 b) C_8,3 c) C_12,7 d) C_26,25 e) C_20,14 f) C_20,16

Factorial de cero: 0!

El valor de toda combinación en la que m y n son cantidades iguales es la unidad

c_(m,n)=1, por lo que 1/0!=1, en consecuencia 0!=1. c_(m,n)=c_(m,0)=1

Ejms: Calcular las siguientes expresiones: a) (C_8,4 . C_7,3)/(C_7,4 . C_10,6 ) b) (C_10,8+ C_8,6+C_6,4)/(V_4,2+ V_5,2+V_6,2+V_7,2 )

Relación entre m y n en las fórmulas combinatorias

Siendo m y n, respectivamente, el número total de elementos de los que se dispone y el número de elementos que entran en cada ordenación, es obvio que m y n deben ser cantidades enteras y positivas (n puede ser también igual a cero tratándose de combinaciones, como ya hemos visto).

Po otra parte, el número total de elementos debe ser mayor o, por lo menos, igual al de los que entran en cada ordenación. Tratándose de variaciones, m debe ser mayor que n, pues, de ser iguales, la expresión se transforma en una permutación: V_(m,n)=P_m

Resumiendo:

Para las Variaciones (V_(m,n) ) Para las Combinaciones (C_(m,n) )

m>1 (m∈N) m≥1 (m∈N)

n>0 (n∈N) n≥0 (n∈N)

m>n m≥n

Ecuaciones que contienen expresiones combinatorias

En la mayoría se deben desarrollar las expresiones combinatorias y al terminar verificar las soluciones obtenidas, las o la cual debe satisfacer las condiciones anteriores.

Ejms: Resolver las siguientes ecuaciones: P_n=n! C_(m,n)=m!/(m-n)!n! V_(m,n)=m!/((m-n)!) Propiedades: C_(m,n)=C_(m,m-n) n_1+n_2=m

a) C_(x+6,12)=C_(x+6,4) n_1+n_2=m

b) P_(x+6)=30P_(x+4) c) V_(10,n)=10/7 V_(9,n) d) V_(m+2,3)=35(m+1) e) V_(x+2,x)+V_(x+4,x)=V_(x+5,x)

DIVERSIONES: Resolver las siguientes ecuaciones

1) V_(m,2)=12 2) C_(x+1,3)=35 3) C_(m,2)=10 4) V_(x+1,3)=24x

5) V_(x-1,3)=60 6) V_(m,2)+V_(m+2,2)=86 7) 2V_(x-1,3)-2C_(x,2)=33(x-1) 8) P_x=120

9) 5C_(x,2)=2C_(x,4) 10) V_(x,3)+V_(x+1,3)-V_(x+2,3)+36=0 11) 4V_(9,n)=9V_(8,n) 12) C_(14,x-1)-3C_(14,x-3)=0 13) (P_x )^2-30P_x+144=0 14) C_(x+7,x)-C_(x+5,x)=C_(x+4,x)

15) (C_(x,2) )^2-18C_(x,2)+45=0 16) 2V_(x-2,2)+(x-2) V_(x-3,3)=6C_(x,4) 17) P_(x-4) .P_(x-2)=34.560/P_x 18) 15V_(2x-2,3)=14V_(x+1,4) 19) 1/C_(x+3,x) +1/C_(x+4,x) =(4320(x+8))/P_(x+4) 20) 1/V_(x+3,x) -1/V_(x+4,x) =(xP_(x+4))/2400

Sistemas de ecuaciones que contienen expresiones combinatorias

Ejms:

3C_(x,y)=5C_(x,y-1)=3C_(x,y+1) b) {█(C_(x,y)+2C_(x,y+1)=5C_(x-1,y)@V_(x+1,y-1)=2C_(x+1,y-1) )┤ c) {█(P_(X-4) .p_(7y-9)/3=288/P_(x-3) @4C_(x+1,y)-7C_(x,y)=0)┤

d) {█(7V_(x,y)=5V_(x+1,y)@V_(x,3) .P_((7y-10)/2)=1440/(7y-8))┤ e) {█(C_(x,y+1)-C_(x,y+2)=0@log⁡〖C_(x,y-2)+log⁡〖(x+y-3)=log⁡〖C_(x+1,y-2)+log⁡(x-y+3) 〗 〗 〗 )┤

DIVERSIONES: Resolver las siguientes sistemas de ecuaciones

1) {█(C_(x,y-1)=C_(x,y)@4C_(x,y)=5C_(x,y-2) )┤ R: 2) {█(P_x=6V_(x,y)@V_(x,y)=6C_(x,y) )┤ R:

3) {█(5C_(x,y)=4C_(x,y-1)@x-y=3)┤ R: 4) {█(V_(x^2,y+2)=720C_(x^2,y+2)@3V_(x+3,y+1)-15V_(x+2,y)=10C_(x^2,y-2) )┤ R:

5) {█(V_(x+y+1,2y+1)/V_(x+y,2y) =6@P_(5-y) .V_(x+2,2)=720/(8-y))┤ R: 6) {█(24V_(x,y) ∶ P_x=1@5C_(x+2,y+1)+5C_(x+1,y)=9C_(x+2,y) )┤ R:

7) {█(132V_(2x,y-2)=V_(2x,y)@24/(x-y-1)=V_(x-y+1,2) .P_(x-y-2) )┤ R: 8) {█(15V_(x+1,y)=7V_(x-1,y+1)@C_(x,3y-1)-C_(x,y)=0)┤ R:

9) {█(V_(x,y)-V_(x-1,y)=C_(x-1,y+1)@V_(x,y)=2C_(x,y) )┤ R: 10) 3C_(x,y)=5c_(x,y-1)=3C_(x,y+1) R:

11) 5C_(x,y+1)=5C_(x,y-1)=4C_(x,y) R:

Problemas de Combinatoria

1) ¿ Cuántas sumas diferentes, de dos sumandos cada una se pueden obtener con los números 3,6,12,21,13 y 41 ? R: 15

2) ¿ De cuántas maneras diferentes pueden colocarse 4 soldados en una fila ? R: 24

3) Se dispone de 5 marcas de vino. ¿ Cuántos sabores pueden formarse mezclando las cinco marcas cada vez en la misma proporción ? R: 1

4) Se dispone de 13 monedas diferentes. ¿ Cuántas colecciones pueden hacerse entrando en cada colección 6 monedas ? R: 1.716

5) ¿ Cuántas señales diferentes pueden hacerse con 11 banderas, izándolas de 4 en 4 ? R: 7.920

6) En una carrera de caballos figuran 10 ejemplares. ¿ De cuántas maneras pueden llegar a la meta admitiendo que llegan de uno en uno ? R: 3.628.800

7) ¿ Cuántas banderas de franjas horizontales de cuatro colores se pueden formar con los 7 colores del arco iris sin repetir ningún color ? R: 840

8) Con las cifras del número 5673214. Calcular cuántos números de cuatro cifras pueden formarse que empiezan por 7. R: 120

9) Con las cifras del número 1234578. Calcular cuántos números de 5 cifras terminan en 8. R: 360

10) En una reunión hay 8 mujeres y 6 hombres. Calcular cuántos grupos pueden hacerse, entrando en cada grupo cuatro mujeres y tres