Trabajo Practico Matemáticas y Ciencias

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El paso de un fluido en un medio poroso depende de varios parámetros, entre los cuales solo enfocaremos nuestra atención en los que considero los más importantes, a saber: 1) Cantidad total de fluido, 2) Densidad del fluido, 3) Superficie (área) de los poros y 4) Cantidad de poros.

Como se puede apreciar, las variables planteadas se pueden determinar y en base a esto podemos predecir el comportamiento del fluido; razón por la cual este modelo es determinístico.

Se nos pide modelar el comportamiento del fluido, por lo cual enfocaremos nuestro estudio en determinar una fórmula que nos relacione el tiempo que tarda un fluido en penetrar en un medio poroso, con los parámetros ya planteados.

Nuestras variables de partida serán:

Q= Caudal o Cantidad de fluido que penetra en el medio poroso.

D= Densidad del fluido

S= Superficie (área) de los poros del medio poroso.

N= Cantidad de poros del medio poroso.

Paso 2: Formular un modelo matemático

Veamos cómo se interrelacionan las variables descritas:

Q: La cantidad de fluido Q es el volumen (V) de fluido (en cm3) que penetra en el medio poroso por unidad de tiempo. Es decir, Q= V/t. Tenemos que Q depende de la densidad del fluido. Al referirnos a la cantidad de fluido de un solo poro utilizamos la denominación (q).

D: La densidad del fluido D podemos definirla como una magnitud escalar referida a la cantidad de masa en un determinado volumen de una sustancia (gr/cm3). (https://es.wikipedia.org/wiki/Densidad); esto nos indica que si D aumenta el tiempo t aumenta y si D disminuye t disminuye, siendo por tanto t directamente proporcional a D.

S: La superficie o área S (cm2) de todos los poros, por la cual debe pasar el fluido. Si S aumenta disminuye t y si S disminuye aumenta t, por lo tanto t es inversamente proporcional a S.

N: La cantidad de poros del medio poroso. Vemos que si N aumenta t disminuye y si N disminuye t aumenta; por lo tanto t es inversamente proporcional a N.

Debemos considerar que la cantidad de fluido que pasa por cada poro (q) es directamente proporcional a la densidad (D). En efecto, si D aumenta implica que el Vol/t disminuye y si D disminuye Vol/t aumenta. Por otro lado (q) es inversamente proporcional al área o superficie (cm2) de dicho poro. Por lo tanto, el valor (q) del flujo por un solo poro está dado por:

q= (K) (Vol) / (t)(cm2)(D) ; siendo K una constante.

La cantidad total de flujo (F) a través del medio poroso viene dada, en consecuencia, por el producto de (q) por la cantidad total de poros (N) y por la superficie total de los poros (S):

F= (q)(N)(S)

Si multiplicamos F por el tiempo que tarda en pasar el fluido a través del medio poroso tenemos que:

Q= (F)(t) lo que implica que:

t= (Q)/(F)= (Q)/(q)(N)(S) (1)

Paso 3: Obtener una solución matemática:

Nos corresponde calcular N y S en función del tamaño del medio poroso, para lo cual utilizaremos la “La alfombra o Tapiz de Sierpinski”

En su construcción se parte de un cuadrado negro, que se subdivide en nueve cuadrados iguales, de los cuales el que queda en el medio de todos se pinta de blanco y el resto se deja de color negro. Después se va repitiendo este procedimiento en sucesivas iteraciones para cada uno de los cuadrados negros que se hayan formado. Con esto se van obteniendo las figuras siguientes:

[pic 5]

n=0 n=1 n=2 n=4 n=5

Para calcular su dimensión fractal se usa el mismo cálculo que para el triángulo de Sierpinski. Las variaciones están en los parámetros:

nº cuadrados negros = 8n

Tamaño del lado de los cuadrados blancos = 3-n

Dimensión fractal = - lim [nèinf.] ((ln 8n) / (ln 3-n)) = 1’89278926…

(Tomado de la página: http://sabia.tic.udc.es/gc/Contenidos%20adicionales/trabajos/Imagenyvideo/fractales/sierpinski.htm)

Ahora bien, al comparar el problema planteado sobre el comportamiento de un fluido a través de un medio poroso con el Tapiz de Sierpinski, podemos observar que la superficie disponible para que penetre el fluido en el medio está representada por los cuadros blancos, los cuales aumentan a medida que realizamos más iteraciones, es decir, a medida que aumentamos (n). Esto implica que tenemos más poros y más superficie para el paso del fluido, por lo cual el tiempo (t) que tardará dicho fluido en pasar a través del medio poroso disminuirá.

Para determinar el tamaño de los poros (S) relacionamos estos con el tamaño de los cuadros blancos:

S= (3-n )(L) (3-n )(L)= L2 3-2n

Siendo L la longitud de cada lado de la alfombra.

Para calcular el tamaño de los cuadros blancos (número total de poros N) calculamos el área de los cuadros negros (Cn) y luego restamos esa cantidad del total del área de la alfombra, es decir:

Cn= L2 3-2n 8n

Por lo tanto el área total de los cuadros blancos (Cb) será:

Cb= L2 - L2 3-2n 8n

Esto implica que (N)(S)= Cb= L2 (1- 3-2n 8n)

Sustituyendo en la ecuación (1)

t= (Q)/(F)= (Q)/(q)(N)(S)

t= (Q)/(q)( L2 (1- 3-2n 8n)

t= (Q)/(q)( L2 (1- (8/9)n)

Paso 4: Interpretar la solución matemática:

Podemos observar lo siguiente:

- Si (q) tiende a cero implica que (t) tiende al infinito. Es claro que si no pasa fluido por ningún poro el tiempo se incrementará excesivamente.

- Si el área de la alfombra L2 aumenta implica que