Trabajo final Transformaciones lineales

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Valores y vectores propios

Valores y Vectores propios: Definiciones y propiedades.

Sea A una matriz cuadrada, un número real λ se dice que es un valor propio o un eigenvalor o un valor característico de A si existe un vector, diferente del vector cero, x tal que: Ax = λx

Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A el vector resultante mantiene su dirección, posiblemente solo su longitud y/o sentido se modifique. El vector x se llama vector propio o eigenvector asociado al valor propio λ.

Matrices equivalentes y diagonalización

Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar una fila de A por un número real cualquiera diferente de cero, intercambiar dos filas o sumar a una fila de A cualquier otra fila. Una matriz cuadrada se dice que es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. Un endomorfismo de Rn se dice diagonalizable si la matriz asociada respecto de alguna base del espacio es una matriz diagonal. En ambos casos la matriz diagonal se llamará matriz diagonal asociada, y su diagonal principal estará formada por los valores propios de la matriz A (o del endomorfismo f). Dados un endomorfismo f de Rn y A la matriz asociada a f respecto de la base canónica de Rn, se tiene que f es diagonalizable si y sólo si A es diagonalizable.

Un endomorfismo (o una matriz) es diagonalizable si y sólo si existe una base del espacio vectorial (que para el caso de la matriz será Rn) formada por vectores propios del endomorfismo (o de la matriz).

Cuando tengamos una matriz A diagonalizable tendremos A = PDP-1

Donde D es una matriz diagonal y P es invertible. A D la llamaremos matriz diagonal semejante a A y a P y a su inversa matrices de paso o matrices cambio de base. Entonces si tomamos el endomorfismo f de Rn tal que MC→C (f) = A (con C la base canónica de Rn), para la descomposición A = PDP −1 pueden tomarse D = MB→B (f) y P = MB→C con B una base de Rn formada por vectores propios de A.

Matrices simétricas y diagonalización ortogonal.

Una matriz es simétrica si es una matriz cuadrada, la cual tiene la caracteristica de ser igual a su traspuesta. En particular, se demuestra que cualquier matriz simétrica real tiene n vectores característicos reales linealmente independientes y, por lo tanto, es diagonalizable.

Se dice que una matriz A de nxn es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz

ortogonal Q tal que: Q.1 AQ = D; donde D = diag (λ1, λ2, . . . , λn) y λ1, λ2, . . . , λn son valores característicos de A.

Forma canónica de Jordan (Teorema de Asley y Hamilton)

Sea f : V → V un endomorfismo con V un K-espacio vectorial de dimensión n. A lo largo de toda la sección supondremos que K = R o K = C.

Sabemos que f no siempre es diagonalizable. Por ejemplo, el endomorfismo f de V = R2 (con K = R) determinado por la matriz

A =0 2−2 4

no es diagonalizable ya que A no lo es (existe un único autovalor λ = 2 de multiplicidad algebraica 2 y multiplicidad geométrica 1). En consecuencia, no existen matrices D, P ∈ M2(R) con D diagonal y P regular tales que

D = P-1AP

Nuestro objetivo es encontrar otra matriz J, lo más parecida a una matriz diagonal que sea posible, tal que J = P-1AP para cierta P regular. Las columnas de P determinan una base B de V respecto de la cual la matriz asociada a f es J. Dicha matriz J recibirá el nombre de forma canónica de Jordan de A.

Denominamos matriz elemental de Jordan de orden k y autovalor λ ∈ C a una matriz de orden k cuyos elementos son ceros salvo en la diagonal principal, donde valen λ, y en la diagonal situada inmediatamente encima, formada por unos.

Las formas canónicas de Jordan serán matrices cuadradas formadas por la yuxtaposición de matrices elementales de Jordan a lo largo de la diagonal.