TRABAJO: UNIDAD 5: TRANSFORMACIONES LINEALES GENERALES

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D(f) =F´(X)

Una transformacion que no es lineal

Sea T : Mnn → R la transformacion que mapea una matriz n x n en su determinante

T(A) = det(A)

Si n > 1, entonces esta transformacion no satisface ninguna de las propiedades necesarias para ser una transformacion lineal.

det(A1 + A2) = det(A1) + det(A2)

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Propiedades de las transformaciones lineales

Si T : V → W es una transformación lineal, entonces

- T(0) = 0

- T(-v) = -T(v) para todo v en V

- T( v – w) = T(v) – T(w) para todo v y w en V

Sea cualquier vector en V. como 0v = 0, se tiene

T(0) = T(0v) = 0T(v) = 0

El teorema 4.3,3: establece que si T es una transformación matricial, entonces es posible obtener la matriz estándar de T a partir de las imágenes de los vectores básicos estándar.

Una transformación matricial esta completamente determinada por sus imágenes de los vectores básicos estándar. O sea, se trata de un caso especial de un resultado mas general: si T : V → W es una transformación lineal, y si (v1, v2…vn) es cualquier base para V, entonces la imagen T(v) de cualquier vector v n en V se puede calcular con las imágenes.

T(v1), T(v2)……T(vn)

De los vectores básicos

V = c1v1 + c2v2 +……+cnvn

Si T1 :U → V y T2 ; V → W son transformacones lineales, la composición de T2 con T1, denotada por T2 o T1 es la función definida por la formula

(T2 o T1)(u) = T2(T1(u))

Donde u es un vector en U,

Si T1 : U → V y T2 : V → W son transformaciones lineales, entonces, en si misma,

(T2 o T1) :U → W también es una transformación lineal.

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Composición de transformaciones lineales

Sea T1 : P1 → P2 y T2 : P2 → P2 las transformaciones lineales dadas por las formulas

T1(p(x)) = xp(x) y T2(p(x) = p(2x + 4)

Entonces la composición ( T2 o T1) : P1 → P2 esta dada por la formula

(T2 o T1)(p(x)) = T2(T1(p(x))) = T2(xp(x)) = (2x + 4) p(2x +4)

Composición con el operador identidad

Si T: V→ V es cualquier operador lineal y si I :V → V es el operador identidad, entonces para todos los vectores v en V e tiene

(T o I)(v)= T(I(v)) = T(v)

(T o I)(v)= I(T(v)) = T(v)