ALICACIONES DE UNA TRANSFORMACION LINEAL: REFLEXION, DILATACION, CONTRACCION Y ROTACION..

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w2, . . . , wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V

en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2, . . . , n. Entonces para cualquier vector v ∈

V, T1v = T2v; es decir T1 = T2. Ejemplo:

[pic 2]

Definición 1 Núcleo e imagen de una transformación lineal

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal. Entonces

i . El núcleo de T, denotado por un, está dado por

[pic 3]

ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por

[pic 4]

Observacion 1. Observe que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo, observe que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W.

Observación 2. La imagen de T es simplemente el conjunto de “imajenes” de los vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.Antes de dar ejemplos de núcleos e imágenes , se demostrará un teorema de gran utilidad.

Teorema 4

Si T: V W es una transformación lineal, entonces

i.Un T es un subespacio de V.

ii.Im T es un subespacio de W.

Demostración

i.Sean u y v en un T; Entonces T(u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T( ) = = 0 = 0 de forma que u + v y ∝u están en un T.

ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vestores u y v en V. Esto significa que T(u + v)= Tu + Tv = w + x y T(∝u) = ∝Tu =∝w. Por lo tanto, w + x y ∝w están en Im T.

Ejemplo 3. Núcleo e imagen de la transformación cero

Sea Tv = 0 para todo vϵ V(T es la transformación cero). Entonces un T = v e Im T = {0}.

Ejemplo 4 Núcleo e imagen de la transformación identidad

Sea Tv = v para vϵ V(T es la transformación identidad). Entonces un T= {0} e Im T = V.

Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera todo se encuentra en el núcleo. En la segunda sólo el vector cero se encuentra en el núcleo. Los casos intermedios son más interesantes.

Ejemplo 5 Núcleo e imagen de un operador de proyección

Sea T: R3 R3 definida por

[pic 5]T es el operador de proyección de R3 en el plano xy.

[pic 6]

Entonces x = y = 0. Así, nu T = {(x,y,z):x = y = 0, zϵR}, es decir, el eje z, e Im T = {(x,y,z): z = 0}, es decir el plano xy. Observe que dim un T = 1 y dim Im T = 2.

Definición 2 Nulidad y rango de una transformación lineal

Si T es una transformación lineal de v en w, entonces se define.

[pic 7]

Toda matriz A de m*n da lugar a una transformación lineal T:R´´ R´´´ definida por Tx = Ax. Es evidente que un T = NA, Im T = Im A = CA, v(T) = v(A) y p(T) = p(A). Entonces se ve que las definiciones de núcleo, imagen, nulidad y rango de una transformación lineal son extensiones del espacio nulo, la imagen, la nulidad y el rango de una matriz.

5.3.-La matriz de una transformación lineal

Desde el punto de vista algebraico lineal, las transformaciones más importantes son las aquellas que conservan las combinaciones lineales. Estas son llamadas transformaciones lineales o aplicaciones lineales. Una transformación lineal es una parte esencial en el álgebra lineal. La idea principal detrás de la “Matriz de una transformación lineal” es la definición de la matriz de T con respecto a las bases arbitrarias del dominio de V y el codominio de W. En este caso, V y W son espacios vectoriales de dimensión finita sobre F, y T: V → W es una transformación lineal.

Sea V y W espacios vectoriales de finita dimensión sobre F, e imagina que T: V! W es lineal. Fija una base

B = {v1, v2. . . vn}

de V y una base de

B0 = {w1, w2. . . wm}

de W. Ahora definimos la matriz MBB’ (T) de T con respecto a estas bases. Puesto que B0 es una base de W, cada T (vj) puede escribirse únicamente como

T(v j) =

Por lo tanto la matriz de T, en definitiva, con respecto a las bases B y B0 se define como la matriz MBB’ (T) = (cij ) m × n . ¿Lo qué dice esta definición es que la columna jth de la matriz MBB’(T) es el vector columna formado por los coeficientes de T(vj) con respecto a la base B0? Uno puede expresar el término anterior en forma matricial mediante

(T(v1) T(v2) • • • T(v n)) = (w1 w2 • • •wm)MBB ’(T).

Es importante tener en cuenta que si V = Fn, W = Fm y T = TA, donde A Fm×n, entonces MBB’(T) = A si B y B0 son las bases estándares. De TA (ej) es siempre la columna jth de A.

Ahora, sea V el espacio de polinomios reales de al menos tres grados, y W el espacio de polinomios reales de a lo sumo dos grados. Entonces, la diferenciación es una transformación lineal D: V → W. Ahora

D (ax3 + bx2 + cx + d) = 3ax2 + 2bx + c.

Sea B la base {1, x, x2, x3} de V y B0 la base {1, x, x2} de W. Ahora,

D (1) = 0, D(x) = 1, D(x2) = 2x, D(x3) = 3×2.

Así

MBB’(D) =

Ahora bien, supongamos que T: V → V es una transformación lineal diagonalizable (o semi-simple). Recordemos que esto significa que existe una base B = {v1, v2. . . vn} de V tal que (vi) = vi para cada índice i entre 1 y n. Por lo tanto,