Espacios vectoriales/ transformaciones lineales

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La dimensión de Mm, n con las operaciones normales es mn.

Si W es un subespacio de un espacio vectorial n-dimensional, entonces se puede demostrar que la dimensión de W es finita y que la dimensión de W es menor o igual que n.

Ejemplo: Determinación de la dimensión de un subespacio

Sea W el subespacio de todas las matrices simétricas en M2,2 ¿Cuál es la dimensión de W?

Solución: Toda matriz simétrica 2| X 2 es de la forma

Un conjunto S de vectores en un espacio V con producto interior se llama ortogonal si todo par de vectores en S es ortogonal, además cada vector en este conjunto es unitario, entonces S se denomina ortonormal.

Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

1. Sea B = {v1, v2, . . ., vn} una base de un espacio V con producto interno

2. Sea B´= {w1, w2, . . ., wn} donde wi está dado por:

w1= v1

[pic 4]

[pic 5]

Entonces B´ es una base ortogonal de V.

3. Sea ui= wi ││w1││ entonces el conjunto B´´={ u1, u2, . . ., un} es una base ortonormal de V.

Ejemplo: Forma alternativa del proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

Determine una base ortonormal del espacio solución del siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales

w+ x + z= 0

2w+x + 2y+ 6z=0

Solución: La matriz aumentada se reduce como se sigue.

[pic 6] --> [pic 7]

Entonces cada solución del sistema es de la forma

[pic 8]

Una base del espacio solución es:

B= {v1, v2,} = {(-2,2,1,0), (1,-8,0,1)}.

Para hallar una base ortonormal B´= {u1, u2}, se usa la forma alternativa del proceso de ortonormalización de Gram- Schmidt como sigue.

[pic 9]

Transformaciones lineales

Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es

decir, con la operación y la acción) de estos espacios.

Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los

espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares.

Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos sera sobre el tipo de funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales. Primeramente las definiremos, veremos algunas propiedades generales y después veremos como se aplican estos resultados a sistemas de ecuaciones.

Núcleo de una transformación lineal Definición 17.1 Sea T : V → W una transformación lineal. El núcleo T es el subconjunto formado por todos los vectores en V que se mapean a cero en W. Ker(T) = {v ∈ V | T(v) = 0 ∈ W}

La notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn ◊ Rm.

1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado.

Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión.

La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual.

2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado.

Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de puntos dados con un término escalar hacia la dirección donde tiene que ser expandido.

Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6).

3. Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8).

4. Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo.

bibliografia

http://www.vitutor.com/analitica/vectores/depandencia_independencia.html

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/geometria_analitica_arl/bases_espacio_vectorial.htm

http://mitecnologico.com/igestion/Main/BaseYDimensionDeUnEspacioVectorial

http://mitecnologico.com/igestion/Main/AplicacionDeLasTransformacionesLineales

https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-5---transformaciones-lineales/5-2-nucleo-e-imagen-de-una-transformacion-lineal