ESPACIOS VECTORIALES.

...

iv. Dado que 1 + (-1) = 0, usando la parte (ii), obtenemos

0 = 0x = [1 + (-1)] x = 1x + (-1) x = x + (-1)x

Sumando (-x) en ambos lados de (2), llegamos a que

0 + ( -x) = x + ( -1)x + (-x) = x + ( -x) + (-1)x

= 0 + (-1)x = (-1)x

Por lo tanto, - x = (-1)x. Notaremos que en la ecuación anterior pudimos cambiar el orden de la suma usando la ley conmutativa ( axioma v).

Nota. La parte (iii) del Teorema 1 no es tan obvia como parece. Existe ciertos objetos que satisfacen que xy = 0 y si embargo ni x ni y son cero. Como un ejemplo, tomemos la multiplicación de las matrices 2 x 2. Si A = [pic 1][pic 2] y B = [pic 3][pic 4] , entonces ni A ni B son cero y como puede verificarse fácilmente AB = 0, la matriz cero.

Para definir un espacio vectorial lineal abstracto, necesitamos:

- Un conjunto de cosas llamadas "vectores" (X)

- Un conjunto de cosas llamadas "escalares" (A)

- Un operador de adición de vectores (+)

- Un operador de multiplicación escalar (*)

Si los escalares α son reales, S es llamado un espacio vectorial real.

Si los escalares α son complejos, S es llamado un espacio vectorial complejo.

Si los “vectores" en S son funciones o variables continuas, muchas veces S es llamado un espacio lineal de funciones.

SUBESPACIOS Y ESPACIO GENERADO

Si A es una matriz m x n, entonces el espacio solución del sistema homogéneo de ecuaciones AX=0 es un espacio vectorial. Además, el espacio solución es un subconjunto del espacio vectorial, Mny de todas la matrices N X 1 con las mismas operaciones vectoriales que el espacio Mny A un conjunto que tenga estas propiedades se le llama subespacio de un espacio vectorial dado.

DEFINICIÓN 1.- Sea V un espacio vectorial y S un subconjunto no vacio de V. Entonces S es un subespacio de V si S es un espacio vectorial con las mismas operaciones de adición y multiplicación por escalar definidas en V.

EJEMPLO 1.- Sea A una matriz M X N. Entonces el espacio solución de AX=0 es un subespacio del espacio vectorial Mn.

Si U +V pertenece a S, entonces, como U+V=V+U en V, U+V y V +U debes representar también el mismo vector en S. Por lo tanto U+V=V+U en S. De una manera semejante se puede demostrar que U+ (V+W)= (U+V)+W en S y que las propiedades 7-10 de la definición de espacio vectorial se cumplen en S. Por consiguiente, si S es un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V, S será un subespacio de V si se puede demostrar que se cumplen las propiedades 1, 2,5 y 6 de la definición.

Ejemplo 2:

Sea V un espacio vectorial. El subconjunto (0) cuyo único elemento es 0, es un subespacio de V. esto es cierto debido a que 0+0=0, y c0=0 par todo numero real c. por consiguiente, satisfacen las dos propiedades de cerradura. El subespacio 0 se llama subespacio trivial nulo (o cero).

Ejemplo 3:

Todo espacio vectorial es un subespacio de si mismo. Las propiedades de cerradura obviamente se cumplen.

Los dos espacios 0 y V de un espacio vectorial de V no son muy interesantes como subespacios. Un subespacio de V distinto de 0 y V se llama subespacio propio.

Ejemplo 4:

El conjunto S de todas las matrices diagonales 2x2 es un subespacio del espacio m23 de todas las matrices 2x2.

Ejemplo 5. El conjunto Pn , de todos los polinomios de grados n es un subespacio de pn es n

Solución. Del ejemplo 10 de la secc. 6.1 se sabe que Pn y Pm son espacios vectoriales. Puesto que Pn es un subconjunto de Pm, entonces es un subespacio de Pm.

Problema 3. Sea S el conjunto de todos los polinomios de grado

Ejemplo 6. Sea D (0, 1) el conjunto de todas las funciones que son diferenciables en el intervalo (0, 1). Entonces puesto que toda función diferenciable es continúa D (0,1). Es un subconjunto de C (0, 1).

Solución. El conjunto D (0, 1) no es vacío, ya que Y = f(x) = 0 se encuentra en el. Sean ahora f(X) y g(X) elementos de D (0, 1). Se bebe mostrar que f(x) + g(x) y c(x) pertenecen a D (0, 1).

Ejemplo 10.[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

1 1 1 1 2 0 0 2

Determinar si las matrices 0 0 , 3 0 , 0 3 0 -1

Generan el espacio vectorial M=de las matrices 2 x 2.

[pic 13][pic 14]

a b

c d

si hay escalares X1, X2, X3, y X4 tales que

[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

1 1 1 1 2 0 0 2 a b

X1 + X2 + X3 + X4 =

0 0 1 0 0 3 -1 0 c d

O, de manera equivalentes tales que

[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

X1 – X2 + 2X2 X3 + X2 + 2X4 a b

X2 – X4 3X4 c d

Esto conduce al sistema de ecuaciones lineales

X1 – X2 + 2X3 = a

X1 + X2 + 2X4 = b

X2 - X4 = c

3X3 = d

Considérese ahora el determinante de la matriz de coeficientes

[pic 29][pic 30]

1 1 2 0

1 1 0 2 = 6

0 1 0 -1

0 0 3 0

ESPACIO