Espacios vectoriales. Esta definición pertenece a un álgebra demasiado abstracta
Enviado por Ensa05 • 21 de Marzo de 2018 • 976 Palabras (4 Páginas) • 726 Visitas
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- S=
Se lee como el espacio vectorial s, compuesto por los vectores 1,2,3,n.
- [pic 10], , R3
Este ejemplo se lee como los vectores dados generan el espacio vectorial R3
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Subespacio vectorial
En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial, con la única diferencia de que el subespacio vectorial está contenido en un espacio vectorial más grande.
Tomaremos como ejemplo un subconjunto no vacío imaginario al que llamaremos L, de un espacio vectorial imaginario también, llamado V y suponga que L es en sí un espacio vectorial determinado bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que L es un sub espacio de V.
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Teorema de subespacio
Un subconjunto no vacío de L de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen los axiomas de cerradura:
a) Si X € L y Y € L, entonces X + Y € L.
b) Si X € L, entonces αX € L para todo escalar α.
Es obvio que si L es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los 10 axiomas se cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura que nombramos momentáneamente axiomas a) y b) se cumplen por hipótesis, como los vectores en L son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa que son los axiomas II, V, VII, VIII, IX y X se cumplen.
Este teorema demuestra que para probar si L es o no es un subespacio de V, es suficiente verificar que:
X + Y y αX están en L cuando X y Y están en L y α es un escalar.
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Propiedades de subespacio vectorial
- El vector cero de V está en L.
- L es cerrado bajo la suma de vectores.
- L es cerrado bajo la multiplicación por escalares.
Otra de las propiedades de los subespacios vectoriales es que además de los tres anteriores incisos, deben cumplir además con los diez axiomas para espacios vectoriales, porque debemos recordar que un subespacio vectorial dado tiene las mismas características de un espacio vectorial, pero esta contenido en un espacio mayor.
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Ejemplos de subespacio vectorial
Es posible mencionar muchos ejemplos de este tema, pero todos nos van a llevar a la misma conclusión, un subespacio vectorial es un conjunto de vectores contenido dentro de un espacio vectorial.
- R2 = [ (a,b) a,b € Ṝ]
S = [(a,b) a,b € Ṝ , a+b =0]
Este ejemplo se lee “R2 es el conjunto de todos los elementos a,b tales que a,b pertenecen a los números reales. S es el subconjunto de R22 donde a,b son números reales y además la suma de a+b es igual a cero.
- , , son subespacios de R3
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Bibliografía
- Grossman S., álgebra lineal sexta edición, 2007.
- ITESM , departamento de matemáticas espacios vectoriales, PDF, 2011
- A. Baldor, Álgebra, publicaciones Cultural Ódice América, 1997.
- https://m.youtube.com/watch?v=xlZfvUCaEU4
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