ESPACIOS VECTORIALES.

...

[pic 52]

se denomina combinación lineal de dicho conjunto de vectores.

La combinación lineal [pic 53]

se puede expresar así: [pic 54]

Gráficamente:[pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]

Ejemplos:

- En R2, el vector: (-3,11) es combinación lineal de los vectores:

(2,1); (-1,3) y (2,0)

Lo comprobamos: (-3,11) = 2. (2,1) + 3. (-1,3) + (-2). (2,0)

- En M2x3; la matriz [pic 61] es combinación lineal de

[pic 62] y [pic 63]

. Lo comprobamos: [pic 64] = [pic 65]+[pic 66]

- Podemos decir que el polinomio P(x) = 5x2 + 3x -4 es combinación lineal de los monomios x2 , x y x0

- ¿El vector [pic 67]= ( 1 , - 2 , - 5 ) es combinación lineal de

[pic 68]= (1, 1,1) y [pic 69]= (1, 2,3)?

Solución: para que [pic 70]sea combinación lineal de [pic 71] y [pic 72] deben existir escalares

α1 y α2 / α1[pic 73]+α2[pic 74]= [pic 75]⇒ α1 (1, 1,1) + α2 (1, 2,3) = (1, - 2,- 5) ⇒

(α1, α1, α1) + (α2, 2α2, 3α2) = (1, - 2, - 5)

Sumando ternas:

(α1+α2, α1+2α2, α1+3α2) = (1, - 2,- 5)

Igualando las ternas, obtenemos un Sistema de ecuaciones lineales:

[pic 76]

[pic 77]

α1 + 3α2 = - 5 ⇒ α1= -5 - 3α2

⇒ α1 = - 5 - 3.(-3) ⇒ α1 = 4

[pic 78][pic 79]

(1, - 2,- 5) = 4 (1, 1,1) + ( - 3) (1, 2,3)

Luego [pic 80] puede expresarse como combinación lineal de [pic 81] y [pic 82]

Como vemos, el Sistema de ecuaciones lineales resultó ser compatible determinado, por lo que la combinación lineal es única.

Actividad 2: Si el Sistema de ecuaciones lineales resulta ser compatible indeterminado, ¿Cómo será la combinación lineal? Y Si el Sistema de ecuaciones lineales resultante es incompatible?

Actividad 3: Averiguar si el vector [pic 83]= (1, 2, 5) es combinación lineal de

[pic 84]= (1, 0,1) y [pic 85]= (1, 2,-3).

Actividad 4: Averiguar si el vector [pic 86]= (2, 3) es combinación lineal de

[pic 87]= (1,1) , [pic 88]= (1,2) y [pic 89]= (1,-2)

Sugerencia: Consulta el texto Álgebra Lineal de Stanley Grossman (sexta edición) pág. 299, para profundizar y ver más ejemplos.

Dependencia e independencia lineal

Si [pic 90] es un conjunto de vectores, entonces la combinación lineal (c.l.):

[pic 91]

tiene al menos una solución:

[pic 92]

Si esta solución es única, entonces se dice que [pic 93] es un conjunto linealmente independiente (l.i.).

Si existen otras soluciones, se dice que [pic 94] es linealmente dependiente(l.d.).

Gráficamente:

[pic 95][pic 96][pic 97][pic 98][pic 99]

la c. l. [pic 100]

⇒ [pic 101] son l. d.

Cualquiera de estos vectores es combinación lineal de los restantes, es decir podemos obtener el vector nulo sin que los coeficientes de la combinación lineal sean nulos.

Definición:

Dado un conjunto [pic 102] se dice que [pic 103] es un conjunto linealmente dependiente si existen números reales [pic 104] no todos nulos tales que [pic 105]

Teorema: dos vectores de un Espacio Vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno de ellos es múltiplo escalar del otro.

Ejemplos:

- Los vectores: [pic 106] y [pic 107] pertenecientes a R4, son linealmente dependientes porque: [pic 108] o lo que es lo mismo decir que

[pic 109]

- Los vectores (- 2;4) y (1, - 2) pertenecientes a R2 son linealmente dependientes

Lo comprobamos: [pic 110]

[pic 111], esta igualdad nos conduce a un Sistema de ecuaciones Homogéneo

[pic 112]

El sistema se transforma en una sola ecuación, es un sistema de ecuaciones Homogéneo indeterminado (con infinitas soluciones), significa que entre esas infinitas soluciones existirán escalares no nulos que verifiquen la combinación lineal expresada al comienzo.

[pic 113]

Como son vectores de R2, podemos representarlos gráficamente y comprobar que son vectores con la misma dirección

[pic 114][pic 115][pic 116]

Actividad 5: Averiguar si los vectores [pic 117]= (1,1) , [pic 118]= (1,2) y [pic 119]= (1,-2) son l.d.

Independencia lineal

En el plano R 2 es posible ver en forma gráfica que dados dos vectores y con direcciones distintas, no es posible encontrar un escalar tal que se pueda expresar uno de ellos como múltiplo del otro, es decir no existe un escalar α tal que = α. [pic 120][pic 121][pic 122][pic 123]

De igual forma se puede decir que no existe α tal que:

- α. = (Vector nulo)[pic 124][pic 125][pic