Espacios Vectoriales.

...

- es un vector[pic 48]

- [pic 49]

- [pic 50]

- (Inverso aditivo)[pic 51]

- [pic 52]

(Neutro aditivo)

Ejem. 1 Dados los vectores efectuar las operaciones indicadas en forma gráfica y analítica

Módulo de un Vector:

Llamado también longitud y norma de un vector es el número real no negativo, representado por y está definido por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes, esto es:[pic 53][pic 54]

Si de donde: [pic 55][pic 56]

Propiedades: Se verifican las siguientes propiedades para el módulo de un vector:

- [pic 57]

- [pic 58]

- [pic 59]

- Desigualdad triangular (Cauchy-Schwarz)[pic 60][pic 61]

Vector Unitario:

Se llama vector unitario, al vector cuyo módulo es la unidad, es decir: es un vector unitario si y solo si [pic 62][pic 63]

Teorema: Dado un vector , entonces el vector es un vector unitario.[pic 64][pic 65]

Combinación Lineal de Vectores:

Sea un conjunto de vectores, llamaremos combinación lineal de los vectores a la expresión siguiente:[pic 66][pic 67]

donde: [pic 68][pic 69]

Definición: Diremos que el vector se puede expresar como combinación lineal de los vectores si existen escalares , tal que:[pic 70][pic 71][pic 72]

[pic 73]

Vectores Fundamentales:

Consideremos los vectores: los cuales denotaremos como: [pic 74][pic 75]

Estos vectores son unitarios y se representan a partir del origen de coordenadas situada sobre los ejes coordenados en sentido positivo al de los ejes; a estos vectores se les denomina vectores fundamentales o vectores dirección. Un vector se puede representar también en términos de sus vectores dirección de la siguiente forma: (Gráfico)

[pic 76]

Producto Escalar de Vectores:

El producto escalar (o producto interno) de dos vectores está dado por la suma de los productos de sus componentes correspondientes. Es decir: [pic 77][pic 78]

[pic 79]

Propiedades: Consideremos tres vectores y un número real cualquiera; entonces:[pic 80][pic 81]

- [pic 82]

- [pic 83]

- [pic 84]

- y [pic 85][pic 86]

- [pic 87]

- [pic 88]

- [pic 89]

- [pic 90]

Vectores Paralelos y Ortogonales:

Dos vectores son paralelos si uno de ellos es igual al otro vector multiplicado por un número real, es decir:[pic 91][pic 92]

[pic 93]

Dos vectores son ortogonales si se verifica la siguiente relación:[pic 94][pic 95]

[pic 96]

Teoremas:

T.1.: Los vectores son ortogonales si y solo si [pic 97][pic 98]

T.2.: Los vectores son ortogonales si y solo si:[pic 99]

[pic 100]

Nota: Criterio de colinealidad

Proyección Ortogonal y Componente:

Sean dos vectores, donde: , definimos la proyección ortogonal del vector sobre el vector de la siguiente manera:[pic 101][pic 102][pic 103][pic 104]

[pic 105]

Sean dos vectores, donde , al número: que es la longitud dirigida del vector de la proyección de sobre el vector , le llamaremos la componente del vector en la dirección del vector y se denotará de la siguiente forma:[pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112]

[pic 113]

Nota: existe una relación entre la proyección y la componente, esta es la siguiente:

[pic 114]

Ángulo entre dos Vectores:

El ángulo entre dos vectores no nulos esta dado por la siguiente relación:[pic 115]

[pic 116]

Ejem. 2

Ángulos Directores, Cosenos Directores y Números Directores: (Gráfico)

Sea definimos los siguientes ángulos: entonces:[pic 117][pic 118]

- A los números se los denomina números directores del vector [pic 119][pic 120]

- A los ángulos formados por los ejes positivos y el vector , se les llama ángulos directores del vector . Los ángulos directores toman valores entre 0º y 180º es decir: [pic 121][pic 122][pic 123][pic 124]

- A los cosenos de los ángulos directores se les denomina cosenos directores del vector y se los define de la siguiente manera:[pic 125]

[pic 126]

Nota: Los cosenos directores verifican la siguiente identidad:

[pic 127]

Producto Vectorial:

Sean se define el producto vectorial entre estos dos vectores de la siguiente manera:[pic 128]

[pic 129]

Propiedades: Consideremos tres vectores y un número real cualquiera; entonces:[pic 130][pic