Espacios vectoriales. ALGEBRA LINEAL

...

+ w = [(a0 + b0) +(a1 + b1) x + (a2+b2) x2] + (c0 + c1x +c2x2) =

[(a0 + b0+c0) +(a1 + b1+c1) x + (a2+b2+c2) x2] = (a0 +a1x + a2x2)+[(b0 + c0)+(b1 + c1) x + (b2+c2) x2] = u+(v + w)

iii) Existe un vector 0eV tal que para todo v e V; 0 + v = v + 0 = v.

Existencia del polinomio cero de grado ≤ 2. En efecto: 0 = (0 +0x +0x2) e V \ si v e V

0 + v = (0 +0x +0x2) +( a0 + a1x +a2x2) = (0 + a0) + (0+a1) x +(0 +a2) x2 = (a0 + 0)+ ( a1+0) x +(a2 +0)x2 =(a0 + a1x +a2x2) +(0 +0x +0x2) = v + 0

iv) Si v e V existe un vector –v e V tal que v + (–v) = 0 (opuesto de v)

v e V( v = a0 + a1x +a2x2 con ai eR. Esto significa que para todo ai existe –ai, por lo tanto existe (–a0) + (–a1x) +(–a2x2) = –v e V \ v+(–v) = ( a0 + a1x +a2x2)+ [(–a0) + (–a1x) +(–a2x2)] = [a0+(–a0)] +[a1+(–a1)]x + [a2+(–a2)]x2 = 0 + 0x +0x2 = 0

v ) u + v = (a0 + b0) +(a1 + b1) x + (a2+b2) x2 = (b0 + a0) +(b1 + a1) x + (b2+a2) x2 = v + u

vi) Si v e V y  es un escalar v e V

v e V( v = a0 + a1x +a2x2 ( v = a0 + a1x +a2x2) = [(a0) + (a1)x +(a2)x2]eV.

vii)  u + v)=[(a0 + b0)+(a1 + b1) x+(a2+b2) x2] = (a0+b0)+(a1+b1) x + (a2+b2) x2

= (a0)+(a1)x+(a2)x2+(b0)+(b1)x+(b2)x2 =  a0 + a1x+a2x2)+ b0+b1x +b2x2) = u + v Se cumple la 1° Ley distributiva

viii) (u = (a0 + a1x +a2x2) = a0 + a1x +a2x2)a0 + a1x +a2x2)= u +u. Se cumple la 2° Ley distributiva

ix) u = (a0 + a1x +a2x2) = (a0) + (a1)x +(a2)x2 = a0) + a1)x +a2)x2 = a0) +a1)x+a2)x2] = u). Asociativa del producto escalar

x) Si veV entonces: v= a0 + a1x +a2x2). Pero ai = 1.ai (ieN entonces 1.v= 1.a0 + a1x +a2x2) = (1.a0 + 1.a1x +1.a2x2)eV

3. Justifique dos razones por las cuales el conjunto L = {(x,y) eR2 / y = mx+1 } no es un espacio vectorial sobre R y exponga un ejemplo concreto.

Solución

Si u, v e L; u = (a,b) / b = ma + 1 y v = (c,d)/ d = mc+1 entonces u+v =(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) / b+d = (ma+1)+(mc+1) =ma+mc+2 =m(a+c) +2 ≠ m(a+c) +1 como debería

ser, si u+v eL fuera cierto. Entonces en L no se cumple el axioma i de la definición de espacio vectorial, es decir, la suma no es cerrada en L. La otra razón es que en L no hay vector nulo debido a que 0 = (0,0) / 0 = m.0 ≠m.0+1 como debería de ser si 0eL fuera cierto. Un ejemplo concreto, es dando un valor real a la pendiente m de la definición de L. Si m = 3 entonces L = {(x,y) eR2 / y = 3x+1 } u = (1,4) eL y v =(0,1) eL sin embargo u+v = (1,4) +(0,1) = (1,5) pero resulta que 5 ≠ 3.1 +1= 4 como debería ser si la suma de estos vectores perteneciera a L, por lo tanto u+v no pertenece a L.

3. Para cada conjunto diga si es o no un espacio vectorial. En caso de afirmación explica brevemente por qué se cumplen los axiomas, de lo contrario, indica cuales axiomas no se cumplen y explica por qué.

a) El conjunto de naturales N como vectores, el conjunto de naturales N como escalares y la operación de multiplicación para números naturales.

No; en primer lugar, el vector 0 no pertenece a N (axioma iii), además, los vectores de N no tienen opuesto en ese conjunto (axioma iv). En segundo lugar los naturales no aplican como escalares (axiomas vi,vii,viii, ix) pues en N no existe el inverso multiplicativo.

b) El conjunto de naturales N como vectores, el conjunto de naturales N como escalares, la operación de suma para números naturales y la multiplicación entre números naturales para la operación de multiplicación de escalar y vector.

No, por las razones expuestas en el ejemplo anterior

c) El conjunto de números enteros Z como vectores, el conjunto de números naturales Z como escalares, la operación de suma para números enteros y la multiplicación entre números enteros para la operación de multiplicación de escalar y vector.

No, Z no cumple como escalares (axiomas vi,vii,viii, ix). En Z no existe el inverso multiplicativo.

d) El conjunto de matrices diagonales de n x n bajo la suma de matrices y multiplicación por un escalar usuales.

Si, el conjunto de matrices diagonales de n x n bajo la suma de matrices y multiplicación por un escalar usuales, es un conjunto no vacío y cerrado y bajo estas operaciones se garantiza el cumplimiento de todos los axiomas.

e) El conjunto de matrices diagonales de n x n bajo la multiplicación (es decir, A + B =AB).

No, en general, el producto de matrices no es conmutativo: AB ≠ BA, entonces el axioma v) referido a la conmutatividad de la suma de vectores no se cumple.

f) {(x, y): y ≤ 0; x, y reales} con la suma de vectores y multiplicación por un escalar usuales.

No, debido a que en este conjunto no existen vectores positivos, por lo tanto no se cumplen al menos los cinco primeros axiomas.

g) Los vectores en el plano que está en el primer cuadrante.

No, debido a que en este conjunto no existen vectores negativos, por lo tanto no se cumplen al menos los cinco primeros axiomas.

h) El conjunto de vectores en R3 de la forma (x, x, x) con xeR

Si, es un conjunto no vacío y cerrado bajo las operaciones suma de termas ordenadas y multiplicación por un escalar usuales, entonces se cumplen todos los axiomas.

i) El conjunto de polinomios de grado 4 bajo las operaciones suma de polinomios y multiplicación por un escalar usuales

No, pues en este conjunto solo existen polinomios de grado 4 por lo que no hay cabida para el polinomio de grado cero, por lo tanto no se cumple el axioma iii)

j) El conjunto de matrices simétricas de n x n bajo