ALGEBRA. ESPACIOS VECTORIALES

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Para R5 → 5- ada, R3 →3- ada, y para R2→ 2- ada

El espacio vectorial Rn es un conjunto de elementos llamados vectores en los que se definen dos operaciones, la adición y la multiplicación por un escalar. Se sabe que el espacio vectorial Rn es cerrado bajo estas operaciones; las suma de dos vectores en Rn pertenece a Rn y la multiplicación por un escalar en Rn también pertenece a Rn. El espacio vectorial Rn también posee otras propiedades algebraicas. Por ejemplo, se sabe también que los vectores en Rn son conmutativos y asociativos bajo la adición:

u + v = v + uu + (v + w) =(u + v) + w

En esta parte se analizan éstas y otras propiedades algebraicas de Rn. Se formula un conjunto de axiomas basados en las propiedades de Rn. Cualquier conjunto que satisfaga estos axiomas poseerá propiedades algebraicas similares a las del espacio vectorial Rn. A dicho conjunto se le dará el nombre de espacio vectorial y a sus elementos el nombre de vectores. La ventaja de este enfoque consiste en el hecho de que los conceptos y los resultados relacionados con el espacio vectorial Rn también se aplican a otros espacios vectoriales.

Notación

Dado un espacio vectorial [pic 4] sobre un cuerpo [pic 5], se distinguen:

Los elementos de [pic 6] como:

[pic 7] Se llaman vectores.

Caligrafías de otras obras

[pic 8]

Si el texto es de física suelen representarse bajo una flecha:

[pic 9]

Los elementos de [pic 10] como:

[pic 11] se llaman escalares.

Definición

Un espacio vectorial sobre un cuerpo [pic 12] (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto [pic 13] no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

[pic 14]

Operación interna tal que:

1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

[pic 15]

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

[pic 16]

3) tenga elemento neutro [pic 17], es decir

[pic 18] [pic 19] [pic 20]

4) tenga elemento opuesto, es decir

[pic 21] [pic 22]

Y la operación producto por un escalar.

[pic 23]

Operación externa tal que:

5) tenga la propiedad asociativa:

[pic 24] [pic 25] [pic 26]

6) [pic 27] sea elemento neutro del producto:

[pic 28] [pic 29]

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:

[pic 30] [pic 31] [pic 32]

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:

[pic 33] [pic 34] [pic 35]

Observaciones

La denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por lo que es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicación para el producto y adición para la suma, usando las distinciones propias de la aritmética.

Para demostrar que un conjunto [pic 36] es un espacio vectorial:

- Lo es si sus dos operaciones, por ejemplo [pic 37] y [pic 38] admiten una redefinición del tipo [pic 39] y [pic 40] cumpliendo las 8 condiciones exigidas.

- Si supiésemos que [pic 41] es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.

- Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de [pic 42] tendríamos probados los apartados 5 y 6.

- Si no se dice lo contrario:

[pic 43].

Propiedades

Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:

Supongamos que el neutro no es único, es decir, sean [pic 44] y [pic 45] dos vectores neutros, entonces:

[pic 46] [pic 47] [pic 48] [pic 49]

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:

Supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean [pic 50] y [pic 51] dos vectores opuestos de [pic 52], entonces, como el neutro es único:

[pic 53] [pic 54] [pic 55] [pic 56]

Unicidad del elemento [pic 57] en el cuerpo [pic 58]:

Supongamos que 1 no es único, es decir, sean [pic 59] y [pic 60] dos unidades, entonces:

[pic 61] [pic 62] [pic 63] [pic 64]

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo [pic 65]:

Supongamos que el inverso [pic 66] de a, no es único, es decir, sean [pic 67] y [pic 68] dos opuestos de [pic 69], entonces, como el neutro es único:

[pic 70] [pic 71] [pic 72] [pic 73]

Producto de un escalar por el vector neutro:

[pic 74] [pic 75] [pic 76] [pic 77]

Producto del escalar 0 por un vector:

[pic 78] [pic 79] [pic 80] [pic 81] [pic 82] [pic 83] [pic 84]

Si [pic 85] [pic 86]

- Si [pic 87] es cierto.

- Si [pic 88] entonces:

[pic