ALGEBRA VECTORIAL. DEFINICION DE CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES

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Otra propiedad de los vectores es la de trasladar su punto de aplicación sobre su misma línea de acción sin que cambie su efecto, a estos vectores se les llama VECTORES DESLIZANTES.

[pic 19][pic 20][pic 21]

Serán VECTORES FIJOS aquellos que no pueden mover su línea de acción, ni su punto de aplicación porque el efecto no será el mismo.

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]F[pic 25][pic 26][pic 27]

OPERACIONES CON VECTORES

Un espacio vectorial V consiste de un conjunto de vectores, se pueden efectuar operaciones de suma, y operaciones de multiplicación de escalares por vectores.

La suma en el espacio vectorial tiene las siguientes propiedades:

X + Y = Y + X (Ley conmutativa)

X + (Y + Z) = (X + Y) + Z (Ley Asociativa)

La multiplicación de un escalar por un vector tiene las siguientes propiedades:

A(X + Y) = aX + aY para todo a que este en R, X, Y se encuentre en el espacio vectorial (Ley distributiva).

(ab)X = a(bX) para todo escalar que este en los reales y para todo vector X que este en espacio vectorial. (Ley asociativa).

SUMA DE VECTORES

Para un mejor trabajo del alumno y profesor, se recomienda el uso del juego de geometría (regla, transportador, escuadra de 45º y escuadra de 60º) así como, marcadores de diferentes colores. El alumno deberá recordar, de sus clases de dibujo, el uso de las escalas.

Si se desea representar un vector fuerza de 350 N [pic 28], le podemos dar una escala de 1 cm por cada 100 N, con esta escala si podremos trazar todo el vector en nuestro cuaderno, ya que, la longitud del vector será de 3.5 cm.

Antes de efectuar alguna operación matemática con vectores, será necesario que el alumno practique el uso de las escalas y herramientas de dibujo, para esto, se le pondrán ejercicios de trazo de vectores, como por ejemplo:

S1 = 450 m[pic 29] ; S2 = 360 m [pic 30] ;

S3 = 400 m [pic 31]

[pic 32]

SUMA DE VECTORES POR METODOS GRAFICOS

Un sistema de vectores se puede reemplazar por un solo vector, cuyo efecto es el mismo que el de los vectores dados y recibe el nombre de RESULTANTE.

SUMA DE VECTORES COLINEALES

Para efectuar la suma de vectores se tendrán que seguir los siguientes pasos:

1.- Elegir una escala conveniente para todos los vectores.

2.- Trazar el primer vector y a continuación, de la punta de la flecha del primero, se traza el segundo y así sucesivamente hasta el último vector.

3.- Se traza el vector suma o resultante partiendo del origen del primero al final del último (la punta), el sentido del trazo nos dará el sentido de la resultante.

EJEMPLO:

Efectuar la siguiente suma de vectores:

S1 = 25 m [pic 33] S2 = 30 m [pic 34] S3 = 20 m [pic 35] S4 = 35 m [pic 36]

S1 + S2 + S3 + S4 = 40 m [pic 37]

[pic 38]

DEL POLIGONO

Para efectuar la suma, se seguirán los siguientes pasos:

1.- Se escogerá una escala conveniente.

2.- Se traza el primer vector, tomando como referencia la punta del primer vector (otro eje cartesiano), se traza a continuación el segundo vector y así sucesivamente hasta el último vector.

3.- Se traza el vector suma o resultante partiendo del origen del primero al final del último, la magnitud del vector resultante será la longitud que tenga este último. Su ángulo director lo mediremos con ayuda de un transportador, recordando que el ángulo lo mediremos con respecto al eje X positivo.

Ejemplo:

Se tienen los siguientes vectores;

A = 45 Km [pic 39] ; B = 50 Km [pic 40] ; C = 70 Km [pic 41]

Encontremos la suma o resultante.

R = A + B + C

[pic 42][pic 43]

SUMA DE VECTORES, METODO DEL TRIANGULO

Este método se emplea para sumar dos vectores.

Consiste en los siguientes pasos:

1.- Elegir una escala conveniente.

2.- Se traza el primer vector y a continuación se traza el segundo vector, tomando ejes de referencia en la punta del primer vector.

3.- Se traza el vector resultante, partiendo del origen del primer vector a la punta del segundo vector, logrando con esto formar un triángulo, midiendo este último trazo, obtenemos la magnitud del vector resultante, de acuerdo a su escala, y su ángulo director lo mediremos con ayuda de un transportador (siempre con respecto al eje de las X positivo).

SUMA DE VECTORES, METODO DEL PARALELOGRAMO

Para sumar dos vectores, por este método se siguen los siguientes pasos:

1.- Se escoge una escala conveniente.

2.- Se trazan los vectores concurrentes.

3.- Con ayuda de las escuadras, se trazan líneas paralelas a los vectores, haciendo que coincidan con la punta del otro vector.

4.- La suma o resultante la obtenemos, midiendo el vector que parta de origen del sistema de coordenadas al cruce de las líneas paralelas de los vectores. Y de acuerdo a la escala escogida, se determinará la magnitud de la resultante.

5.- El ángulo director lo mediremos con ayuda de un transportador, recordando