Algebra vectorial plan de estudios

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Un vector unitario bu en la dirección de b

Un escalar talque el vector a - bu es ortogonal al vector b

La componente vectorial de un vector a sobre otro vector b la cual se expresa como:

Comp. Vec. a :

b Un vector será bu en el cual bu es el vector unitario en la dirección del vector b y es una escalar talque a- bu es ortogonal al vector b al escalar se le llama componente escalar del vector a sobre el vector b y se representa de la siguiente manera:

Comp. Esc. a

b

Estas componentes se pueden calcular mediante las siguientes expresiones:

Comp. Vec. a = a · b b Comp. Esc. a = a · b

b |b| |b| b |b|

Si es el ángulo formado por los vectores a y b, el producto del punto vector a y b se puede calcular mediante la expresión

a · b = |a||b|cos 0º " " 180º

Esto queel producto escalar de 2 vectores diferentes del vector 0 es igual al producto de lo módulos de cada uno de ellos por el cos del ángulo que forman. Para calcular el ángulo que se forman entre vectores hay que despejar la formula anterior

VECTORES UNITARIOS i, j, k Y FORMA TRINÓMICA DE UN VECTOR

En algunas ocasiones es conveniente expresar al vector en términos de vector unitario i, j, k. Estos vectores tiene la dirección de los ejes de coordenadas y su modulo es igual a 1. De esta manera el vector a se puede expresar como sigue:

a = (a1i, a2j, a3k)

Esta expresión define al vector a en la llama forma trinómica

ÁNGULOS Y CÓSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR

Definición:

Los ángulos directores de un vector a son los ángulos , , que respectivamente forma al vector a con los vectores unitarios i, j, k

Las expresiones para calcular los ángulos directores se obtienen de la siguiente manera:

= cos-1 a1 = cos-1 a2 = cos-1 a3

|a| |a| |a|

Es mas conveniente trabajar con cósenos directores del vector a de estos ángulos y para obtenerlos nomás hay que despejas el coseno de las formulas anteriores. Cuando se suman los cuadrados de los cósenos tiene que ser igual a 1

PRODUCTO VECTORIAL

Se le conoce también como el producto cruz y nomás es aplicable únicamente a vectores de 3 dimensiones y el resultado será un vector:

a x b = [(a2b3 - a3b2)i + (b1a3 - a1b3)j + (a1b2 -b1a2)k]

El vector resultante de producto vectorial a x b es perpendicular tanto al vector a como al vector b cuando el producto punto es igual a 0

a· (a x b) = 0 b · (a x b) = 0

Si los vectores coinciden en su punto inicial sin ser paralelos entonces forman un ángulo por lo tanto el modulo de |a x b| será igual:

|a x b| = |a||b| sen 0º " " 180º

PARALELISMO

2 vectores diferentes del vector 0 serán paralelos si y solo si su producto vectorial será igual al vector nulo

|a x b|= 0 a " 0 b " 0

ÁREA DE UN PARALELOGRAMO

Se puede calcular mediante el producto vectorial

|a x b| = |a||b| sen

PRODUCTO MIXTO

En este producto primero se debe efectuar el producto b x c ya que si se asocia a · (b x c)

La expresión no tendrá significado dado que a · b es un escalar y el producto vectorial esta definido para 2 vectores.

Este producto mixto se llama también triple producto escalar y puede expresarse en términos de determinantes de tercer orden como se indica a continuación

a · b x c = a1, a2, a3

b1, b2, b3

c1, c2, c3

también se puede expresar de esta forma [a b c]

y

z

x

P

ordenada

abcisa

Cota

a

a

a

otra pag…..

Prerrequisitos (2): Álgebra vectorial

VOLVER

Tipos de vectores y operaciones básicas

Momento de un vector deslizante

Sistemas de vectores deslizantes

Algunas propiedades del campo de momentos de sistemas de vectores deslizantesIgualdad y equivalencia de sistemas de vectores deslizantes

Reducción de sistemas de vectores deslizantes

Nota sobre el momento como vector libre

TIPOS DE VECTORES Y OPERACIONES BÁSICAS

Has tenido ocasión de comprobar en el pasado la utilidad del álgebra vectorial. Esta utilidad radica en que hay muchísimas magnitudes físicas que tienen intensidad (o módulo) y dirección, como por ejemplo la velocidad o la fuerza. Los vectores se usan para representar las magnitudes de este tipo, y el álgebra de vectores para manejarlas y hacer cálculos con ellas.

Según convenga para el propósito particular, se usan vectores de distintos tipos:

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