Algebra lineal ejercicios resueltos de espacios vectoriales

...

- El conjunto de todas las funciones continuas en un segmento [a, b];

- El conjunto de las funciones derivadas en un segmento [a, b];

- El conjunto de todas las funciones elementales;

- El conjunto de todas las funciones no elementales.

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

- Que el punto x = a tenga imagen.

[pic 151]

- Que exista el límite de la función en el punto x = a.

[pic 152]

- Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

[pic 153][pic 154]

Ejemplo de funciones continuas

- en [pic 155][pic 156]

- c

Calculamos el dominio de f(t)

Dominio [pic 157]

La función es discontinua en [pic 158]

- ∃ [pic 159]

[pic 160]

Existe el límite de la función en x = 1 vale 1.

- Discontinuidad evitable en x = 1, la función no tiene imagen en x =1 pero si tiene limite

- [pic 161]

- ∃ [pic 162]

- Calculamos los limites laterales

[pic 163]

Para que la función sea continua en x = 1 los limites laterales tienen que ser iguales [pic 164]

- Si [pic 165][pic 166]

La función es continua en x =1

- [pic 167]

- Continuidad en x=1

- Limites laterales en x = 1

[pic 168]

- Si la función es continua[pic 169]

Para que las funciones f1(t), f2(t), f3(t) sean continuas deben tener el valor de x y y tal que se intersequen en el en el mismo segmento de [a, b] en este caso no se cumple eso así que las funciones no son lineales.

8. Se da un conjuntos de todos los pares posibles de números positivos: X= (E1;E2) , Y=(π1; π2), Z= ( ζ1 ; ζ2 )

X+Y = ( E1 π1 , E2 π2 ) λ X= ( E1 λ1 , E2 λ2)

- X + Y = Y + X

(E1 π1 , E2 π2 ) = (π1 E1, π2 E2)

- (X + Y)+Z = X +( Y+Z)

[(E1;E2) + (π1; π2)] + ( ζ1 ; ζ2 ) = (E1;E2) + [(π1; π2)+ ( ζ1 ; ζ2 )]

(E1π1 , E2 π2 ) + ( ζ1 ; ζ2 ) = (E1;E2) + ( π1 ζ1 ; π2 ζ2)

(E1 π1 ζ 1 ; E2 π2 ζ 1) = (E1 π1 ζ 1 ; E2 π2 ζ 2)

- X+0 = X

(E1;E2) + (0;0) = (E1;E2)

(E1(0) ; E2(0)) = (E1;E2)

(0 ; 0 ) = (E1;E2)

NO ES UN ESPACIO VECTORIAL

9. ¿Puede un espacio lineal componerse: 1) de un solo vector; 2) de dos vectores diferentes?

1) si pueden existir espacios vectoriales con un solo vector se los conoce como:

Los vectores unitarios (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0),..., (0, 0,...1) representan los puntos de una unidad de medida sobre cada uno de los ejes coordenados y son útiles para expresar cualquier vector como combinación lineal de los vectores unitarios.

[pic 170]

2) y un espacio vectorial si se puede componer de dos vectores diferentes basándonos en su teoría que nos explica que solo deben tener varias operaciones:

Un espacio vectorial es el conjunto de todos los vectores de n componentes bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalar. Se define con las siguientes propiedades: Dados dos vectores X e Y pertenecientes al espacio entonces:

[pic 171]

También pertenecen al espacio.

10.- A partir de un espacio lineal ha sido eliminado el vector x. ¿Puede el conjunto de los vectores obtenidos después de esta eliminación quedarse un espacio lineal?

Al ser eliminado un conjunto del espacio vectorial se debe revisar de nuevo si cumple con las propiedades de un espacio vectorial donde cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, diremos que es un espacio vectorial.

- x + y = y + x

- (x + y) + z = x + (y + z)

- Ǝ un E “o” E R ( E neutro ) / x + 0 = x pertenece a R

- Para todo c / x E R ; Ǝ un y E R / x + y = 0

- 1 * x = x

- ƛ (uX) = ƛ u (X)

- (ƛ + u ) X = ƛx + ux

- ƛ (x+y) = ƛx + ƛy

- x + y = y + x

- (x + y) + z = x + (y + z)

- Ǝ un E “o” E R ( E neutro ) / x + 0 = x pertenece a R

- Para todo c / x E R ; Ǝ un y E R / x + y = 0

- 1 * x = x

- ƛ (uX) = ƛ u (X)

- (ƛ + u ) X = ƛx + ux

- ƛ (x+y) = ƛx + ƛy

Ejemplo

Consideremos el conjunto G de los polinomios de grado = 3 (exactamente 3) con coeficientes reales. No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos de G, no está garantizado que el resultado esté en G. En efecto, consideremos