Algebra abstracta y en álgebra lineal una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado

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Ejemplos:

1.- Encuentre los valores propios de la matriz A= [pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

2.-Considérese la matriz A que representa un operador lineal R³ → R³. Si se desea computar todos los valores propios de A, se podría empezar determinando el polinomio característico:

A=[pic 31]

[pic 32]

-2[pic 33]

p(x) = - (x - 2)(x - 1)(x + 1) los valores propios de A son : 2, 1 y -1.

[pic 34]

[pic 35]

de donde (1, 1, -1) es un vector propio asociado a 2.

A=[pic 36]

Diagonalizacion

En algebra lineal es una M una matriz cuadrada se dice que es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal, es decir semejante a un cambio de base se puede reducir a una forma diagonal.

Sea A∈ se dice que A es diagonalizable si y solo si [pic 37][pic 38]

Donde D matriz diagonal cuya diagonal principal esta formada por los elementos del espectro del elemento de A por la matriz de A.\

[pic 39]

Y p es la matriz cuyas columnas son los vectores que construyen una base de subespacio propia asociada a (λi)

[pic 40]

Propiedades

- A tiene que ser semejante a D

- [pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

Si A es diagonizable en los restos también los será en los números complejos, la matriz P se forma por los vectores propios. Los vectores Propios tienen que ser linealmente independientes.

[pic 45]

Si es una diagonalizacion de A, la matriz diagonal está formada por autovalores de A y el vector columna I de la matriz P es un vector propio asociado al autovalor de 1 en donde: [pic 46]

[pic 47]

Sea L : V › V una T.L de un e.v de dimensión n en si mismo. Decimos que L es diagonalizable o que puede ser diagonalizada si existe una base B para V tal que L este representadas respecto a B porn una matriz diagonal D.

También se puede establecer que T.L de un e.v V de dimensión n en si mismo es diagonalizable si y solo si V tiene una base B de vectores propios de L. Además si D es la matriz diagonal que representa a L en la base B , entonces los elementos de la diagonal principal de la matriz D son los valores propios de L.

Una matriz , de orden n x n , es semejante a una matriz diagonal D si y solo si el e.v tiene una base de vectores propios de A. Además , los elementos de la diagonal principal de D son los valores propios de A.[pic 48]

Demostración:

λ es un valor propio de A ⇐⇒ existe un vector x ∈ I Rn diferente de cero, tal que tiene soluciones distintas de la trivial. [pic 49][pic 50]

Al polinomio en se le denomina polinomio característico de la matriz A, y a la ecuación ecuación característica de A.[pic 51][pic 52]

Definición 5.4 – Sea A una matriz de orden n y λ un valor propio de A, al espacio de las soluciones del sistema se le denomina espacio característico de A correspondiente al valor propio λ y lo denotaremos por V (λ). [pic 53]

Observación: Si λ es un valor propio de A, y por tanto dim . En el estudio sobre la diagonalizacion realizado hasta ahora, hemos buscado la diagonalizacion de matrices, separándolas del operador lineal que aparece en el planteamiento inicial del problema. Lo que hemos encontrado hasta ahora ¿es reutilizable también para el estudio de ese operador? En efecto: [pic 54][pic 55]

Definición 5.5 – Sea f: V −→ V un operador lineal, diremos que un escalar λ es un valor propio de f si existe un vector v ∈ V , diferente de cero, tal que Al vector v se lo denomina vector propio de f correspondiente a λ. [pic 56]

Teorema 5.6 – Los vectores propios de f correspondientes al valor propio λ son los vectores, distintos de cero, del núcleo de la aplicación (denotaremos por Id la aplicación identidad).[pic 57]

Demostración: Si v un vector propio correspondiente a λ, entonces Por otra parte si v 6= 0 pertenece al se tiene queluego v es un vector propio de f correspondiente a λ. [pic 58][pic 59][pic 60]

Observación: Este núcleo se denominara, espacio característico de f correspondiente al valor propio λ.

Observación: Este núcleo se denominar ‘a, espacio característico de f correspondiente al valor propio λ.

Teorema 5.7 – Sean V un espacio vectorial de dimensión n, f: V −→ V un operador lineal y A la matriz de f con respecto a una base Entonces:[pic 61]

a) Los valores propios de f son los valores propios de A

b) Un vector v ∈ V es un vector propio de f correspondiente al valor propio λ si y solo si su matriz de coordenadas [v]B es un vector propio de A correspondiente a λ. Demostración:

a) Sea λ un valor propio de f , es decir,, distinto de 0 , tal que , luego λ es un valor propio de A al ser un valor propio de A, entonces tal que Si tomamos lo anterior quiere decir que es un valor propio de ya b) v es un vector propio de f correspondiente a λ si y solo si es un vector propio de A correspondiente a λ. A la vista de este resultado y siempre que trabajemos en términos de valores y vectores propios, el problema de encontrar una base del espacio en la cual la matriz asociada al operador sea diagonal, se reduce al estudio de la diagonalizacion de las matrices.[pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71]

Teorema 5.8 – Si A es una matriz de orden n, son equivalentes:

a)