ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL SEMESTRE: II

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Dirección: es la recta que los contiene.

Sentido: está dado por la orientación de la flecha.

Vectores libres: El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.

[pic 11]

Igualdad de vectores: dos vectores son iguales si tienen el mismo modulo, la misma dirección e igual sentido.

Vectores especiales

[pic 12]

Vector nulo: su símbolo es 0. Es el vector cuyo modulo es cero, es decir que su origen coincide con el extremo, y se representa como un punto.

Vector opuesto: el vector –v es opuesto al v si tienen igual dirección y modulo pero sentido contrario.[pic 13][pic 14]

3. n-VECTORES: A Rn se le llama el “espacio euclideano n-dimensional”. Los casos que nos interesan son aquellos donde n = 1, 2, 3. Es decir, R1 = R, R2 y R3. R1 es la recta numérica, R2 es el plano cartesiano y R3 es el espacio usual de tres dimensiones.

Gráficamente,

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

En R, R2 y R3 podemos identificar al punto x, a (x1, x2) y a (x1, x2, x3) con una flecha que comienza en el origen y termina en el punto. Es decir, lo podemos ver de la siguiente manera:

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Cualquier vector cuyos componentes son todos ceros se llama el vector cero.

La palabra “orden” en la definiciónón de vector es muy importante. Dos vectores con los mismos componentes (elementos) en diferente orden no es lo mismo. Por ejemplo: (2, 1) ≠ (1, 2).

Representamos los vectores con letras como: u, v, a, b, c, de forma ennegrecidas. Al vector cero lo denotamos por 0.

4. TRANSFORMACIONES LINEALES: Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Para señalar una transformación lineal usaremos f (v)= w, donde v y w son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo. A estas le llamaremos aplicación lineal.

Gráfico: dado un espacio vectorial v, cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un especio vectorial w, sus elementos son función de los elementos de v

[pic 21]

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal de V en W, es una función T: V W.[pic 22]

Tal que: T (x+y)= T(x) + T(y)

i)

[pic 23]

[pic 24]

ii)

[pic 25]

[pic 26]

En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.

Observaciones:

i) si [pic 27] es una transformación lineal, entonces [pic 28] En efecto [pic 29] [pic 30] Por la ley de la cancelación en W, tenemos que [pic 31] Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva (i) de T.

5. Producto escalar: El producto escalar es una multiplicación entre dos vectores que da como resultado un escalar.

Para vectores expresados en coordenadas cartesianas el producto escalar se realiza multiplicando cada coordenada por la misma coordenada en el otro vector y luego sumando los resultados.

[pic 32]

Para vectores expresados en forma polar (módulo de cada uno y ángulo entre ellos) se calcula multiplicando los dos módulos por el coseno del ángulo que separa a los vectores.

[pic 33]

6. producto vectorial: El producto vectorial es una multiplicación entre vectores que da como resultado otro vector ortogonal a ambos. Dado que el resultado es otro vector, se define su módulo, dirección y sentido.

El módulo se calcula como el producto de los módulos de los vectores multiplicado por el seno del ángulo que los separa.

La dirección es sobre la recta ortogonal a ambos vectores, es decir que forma 90 grados con los mismos.

El sentido se calcula con la regla del tirabuzón, imaginando que gira por la recta ortogonal del origen entre uno y otro vector de tal forma que avance. Esto quiere decir