Trabajo Unidad 5 Álgebra Lineal

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T es lineal.

Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación lineal queda unívoca-mente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.

Para esto se dan varios ejemplos de transformaciones lineales, cada uno con su particular procedimiento.

Reflexión respecto al eje x

- En R2 se define una función T mediante la fórmula T = (x/) = (x /y) Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x. Una vez que se ha dado la definición básica, se verá que T es una transformación lineal de R2 en R2.

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[pic 7]

Transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.[pic 8]

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P1, P2, P3, y P4 y a los materiales por R1, R2 y R3.

La tabla siguiente muestra el número de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.[pic 9]

Surge una pregunta natural: si se produce cierto número de los cuatro productos, ¿Cuántas unidades de cada material se necesitan? Sean p1, p2, p3 y p4 el número de artículos fabricados en los cuatro productos y sean r1, r2, y r3 el número de unidades necesarios de los tres materiales. Entonces se define:

[pic 10]

Suponga que P = (10, 30, 20, 50)

¿Cuántas unidades de R1 se necesitan para producir estos números de unidades de los cuatro productos?

r1=p1*2+ p2*1+ p3 *3+ p4 *4=10*2+30*1+20*3+50*4=310 unidades

r2 =10*4+30*2+20*2+50*1=190 unidades

r3=10*3+30*3+20*1+50*2=240 unidades

En general se ve que o A P = r, Esto se puede ver de otra manera. Si a P se le conoce como le vector de producción y a r como el vector de materia prima, se define la función T= T (p)= Ap.

[pic 11]

Transformación lineal de R2 en R3

[pic 12]

La transformación en cero

Sean V y W espacios vectoriales y defina T: V→ S W por Tv = 0 para todo v en V. Entonces T(v1 + v2) = 0 = 0 + 0 = Tv1 + Tv2 y T(αv) = 0 = α0 = αTv. En ese caso, T de denomina la transformación cero.

La transformación identidad

Sea V un espacio vectorial y definido

I: V Por Io que lv = v para todo v en V Aquí es obvio que es I es una transformación lineal, la cual se denomina transformación identidad u operador identidad. Sea V un espacio vectorial y defina I: V → S V por Iv = v para todo v en V. Aquí es obvio que I es una transformación lineal, la cual se denomina transformación identidad u operador identidad.

[pic 13]

Transformación de reflexión

[pic 14]

Transformación de Rn → Rm dada por la multiplicación por una matriz de m × n

Sea A una matriz de m × n y defina T: Rn → Rm por Tx 5 Ax. Como A(x + y) = Ax + Ay y A(αx) = αAx si x y y están en Rn , se observa que T es una transformación lineal. Entonces toda matriz A de m × n se puede utilizar para definir una transformación lineal de Rn en Rm.

Transformación de rotación

[pic 15]

[pic 16]

Transformación de proyección ortogonal

Sea H un subespacio de Rn. La transformación de proyección ortogonal P: V → H se define por

[pic 17]

Dos operadores de proyección

[pic 18]

Operador de trasposición

Defina T: Mmn → Mnm por T(A) = AT. Como (A + B)T = AT + BT y (αA)T = αAT, se ve que T, denominado operador de trasposición, es una transformación lineal.

Operador integral

[pic 19]

Operador diferencial

[pic 20]

Una transformación que no es lineal

[pic 21]

Ver [1]

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Propiedades de las transformaciones lineales

En esta parte del trabajo se desarrollan algunas propiedades básicas de las transformaciones lineales.

Teorema 1.

Sea T: V W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,….vn en V y todos los escalares

[pic 22]

Nota en la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en v; mientras que el cero de la derecha es el vector cero en W.

i. T(0) = T(0 + 0)= T(0) + T(0). Así 0= T(0) – T(0) = T(0) + t(0) – T(0) = T(0)

ii.T(u-v) = T[u + (-1)v] = Tu + T[(-1)v] = Tu + (-1)Tv = Tu – Tv.

iii.Esta parte se prueba por inducción (vea el apéndice 1). Para n = 2 se tiene T(α1v1 + α2v2) = T (α1v1) + T(α2v2) = α1Tv1 + α2Tv2. Así, la ecuación (1) se cumple para n = 2. Se supone que se cumple para n = k y se prueba para n=k + 1: T(α1v1 + α2v2+ ….+ αkvk+αk+1vk-1 ) = T(α1v1 + α2v2+….+αkvk) + T(αk+1vk+1), y usando la ecuación en la parte iii para n= k, esto es igual a (α1Tv1 + α2Tv2+….αkTvk) + αk+1Tvk+1, que es lo que se quería demostrar. Esto completa la prueba.

Observación. Los incisos i) y ii) del teorema 1 son casos especiales del inciso iii). Un dato importante sobre las transformaciones lineales