Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y otras ramas de las matemáticas.

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Dado que la propiedad aditiva de la transformación no se mantiene, esta no es una transformación lineal.

T(x+y)≠T(x)+T(y)

2.- T: R2→R2; T[pic 4]

La transformación define un mapa de R3 a R2. Para probar que la transformación es lineal, la transformación debe preservar la multiplicación escalar, la suma y el vector cero.

T: R3→R2

Primero prueba que la transformación preserva esta propiedad.

T(x+y)=T(x)+T(y)

Configura dos matrices para comprobar si la propiedad asociativa de la suma se aplica a T.

T [pic 5]

Aplica la transformación al vector.

T(x+y)=[ 0 ]

[ (x2+y2)]

Simplifica el elemento 1;0 multiplicando x2+y2 para obtener x2+y2.

T(x+y)=[ 0 ]

[x2+y2]

Descompón el resultado en 2 matrices agrupando las variables.

T(x+y)=[0 x2]+[0 y2]

Dado que la propiedad aditiva de la transformación no se mantiene, esta no es una transformación lineal.

T(x+y)≠T(x)+T(y)

5.2 núcleo e imagen de una transformación lineal

Desarrollaremos algunas propiedades básicas de las transformaciones lineales

Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1 , v2 , . . . , vn en V y todos los escalares a1 , a2 , . . . , an :

- T(0) 5 0

- T(u - v) = Tu - Tv

- T(α1 v1 + α2 v2 +. . .+ an vn ) = α1 Tv1 + α2 Tv2 +. . .+ αn Tvn

Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de la derecha es el vector cero en W.

- T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0). Así, 0 = T(0) - T(0) = T(0) + T(0) - T(0) = T(0)

- T(u - v) 5 T[u + (-1)v] = Tu + T[(-1)v] = Tu + (-1)Tv = Tu - Tv.

- Esta parte se prueba por inducción (vea el apéndice 1). Para n = 2 se tiene T(α1 v1 + α2 v2 ) = T(α1 v1 ) +T(α2 v2 ) = α1 Tv1 + α2 Tv2 . Así, la ecuación (1) se cumple para n = 2. Se supone que se cumple para n = k y se prueba para n = k + 1: T(α1 v1 1 α2 v2 +. . .+ αk vk 1 αk + 1 vk + 1 ) = T(α1 v1 1 α2 v2 +. . .+ αk vk )1 T(αk + 1 vk + 1 ), y usando la ecuación en la parte iii) para n=k, esto es igual a (α1 Tv1 + α2 Tv2 +. . .+ αk Tvk ) + αk + 1 Tvk + 1 , que es lo que se quería demostrar. Esto completa la prueba.

Núcleo e imagen de una transformación lineal

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T: V S W una transformación lineal. Entonces

- El núcleo de T, denotado por nu T, está dado por

nu T= {v H V: Tv = 0}

- La imagen de T, denotado por Im T, está dado por

Im T ={w H W: w = Tv para alguna v H V}

Observación 1. Observe que nu T es no vacío porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) 5 0 de manera que 0 ∈ nu T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”

Si T: V S W es una transformación lineal, entonces

- nu T es un subespacio de V.

- Im T es un subespacio de W.

- Sean u y v en nu T; entonces T(u + v) = Tu + Tv = 0 + 0 = 0 y T(αu) = αTx = a0 = 0 de forma que u + v y αu están en nu T.

- Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vectores u y v en V. Esto significa que T(u + v) = Tu + Tv = w + x y T(αu) = αTu = αw. Por lo tanto, w + x y αw están en Im T.

Núcleo e imagen de la transformación cero

Sea Tv = 0 para todo v ∈ V (T es la transformación cero). Entonces nu T = V e Im T = {0}.

Núcleo e imagen de la transformación identidad

Sea Tv = v para todo v ∈ V (T es la transformación identidad). Entonces nu T = {0} e Im T= V

Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera todo se encuentra en el núcleo. En la segunda sólo el vector cero se encuentra en el núcleo.

Núcleo e imagen de un operador traspuesto Sea V = Mmn y defina T: Mmn S Mnm por T(A) = At. Si TA = At = 0, entonces At es la matriz cero de n*m por lo que A es la matriz cero de m*n. Así, nu T = {0} y es claro que Im T = Mnm. Esto significa que ν(T) = 0 y r(T)= nm.

Problemas

T: R2→R2; T / T(x,y) = (2x-y,-8x+4y)

T: R2→R2; T / T(x,y) =( 0,0)en el caso anterior, el vector (x,y) pertenece al nucleo de la TL. Entonces, para hallar el núcleo en el ejercicio que se plantea, hacemos:

T(x,y) = (2x-y,-8x+4y) = (0,0)

igualando queda: 2x-y = 0 -8x+4y = 0

resolviendo el sist. de ecuaciones obtenemos el núcleo: Nu(T) = { x ∈ R2 / 2x-y = 0}

La imagen es el conjunto de vectores pertenecientes al conjunto de llegada (en este caso R2) que tienen pre imagen en el conjunto de partida. Lo hallamos de la siguiente forma: T(x,y) = (2x-y,-8x+4y) = x (2,-8) + y (-1,4) entonces la Im(T) esta generada por los vectores (2,-8) y (-1,4). Si esos dos vectores son li, entonces forman una base de la Im(T).

PROBLEMA 2

Determine el núcleo de T : R3→R3 . T = [pic 6]

Solución Sabemos que Ker(T) es el conjunto de todos los vectores v =0 de R3 tal que T(v) = 0 (en R3 ) [pic 7]

Para resolver el sistema

[pic