INECUACIONES LINEALES Sistemas de Inecuaciones Lineales con dos incógnitas

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Definición. Un conjunto de puntos S es un conjunto convexo si el segmento rectilíneo que une cualquier par de puntos de S se encuentra dentro de S.

[pic 10]

Definición. Para cualquier conjunto convexo S, un punto P de S es un extremo si para cada segmento rectilíneo que se encuentra completamente en s y que pasa por el punto P, P es un extremo del segmento rectilíneo.

Por ejemplo en la figura (a) cada punto de la circunferencia es un punto extremo del círculo. En (b) A, B, C, D son puntos extremos

Ejemplo:

Giepetto S.A. fabrica dos tipos de juguetes: soldados y trenes. Se vende un soldado a S/. 27 y se gasta S/. 10 en materia prima. Cada soldado producido aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en S/. 14

Se vende un tren a S/. 21 y se gasta S/. 9 en materia prima. Cada tren producido aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en S/. 10. Cada juguete necesita dos tipos de trabajo especializado: carpintería y acabado. Un soldado requiere dos horas de acabado y una hora de carpintería. Un tren requiere 1 hora de acabado y 1 hora de carpintería. Cada semana, Giapetto puede conseguir toda la materia prima que se necesita, pero solo dispone de 100 horas de acabado y 80 de carpintería. La demanda de los trenes no tiene límites, pero se venden a lo más 40 soldados semanalmente. Giapetto quiere maximizar su ganancia semanal (ingresos costos). Formule un modelo matemático para la situación de Giapetto que se puede utilizar para maximizar su ganancia semanal.

Al crear este modelo se exploran las características comunes a todos los problemas de programación lineal.

Variables de decisión. Las variables de decisión tienen que presentar todas las decisiones que tomar (¿?) Giapetto tiene que decidir cuantos soldados y trenes tiene que fabricar cada semana. Entonces definimos:

X1 = el número de soldados a producir cada semana.

X2 = el número de trenes a producir cada semana.

Función Objetivo. En cualquier problema de P.L., la persona que toma la decisión quiere maximizar (ingresos o ganancias ) y minimizar (costos) . La función que hay que maximizar o minimizar se llama función objetivo .

Se debe:

Maximizar (Ingr. Sem.) – (costos compra mat. prima) – (otros costos variables).

Ingr. semanales = ingreso semanal de soldados + ingresos semanal por trenes

=(dólar/soldado)(soldado/semana) + (dólar/tren)(tren/ semana)

= 27 X1 + 21 X2

costos: costos semanales de materia prima = 10X1 + 9X2

otros costos semanales variables = 14X1 + 10X2

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¿Qué se quiere maximizar?

(27X1 + 21 X2 ) – (10X1 + 9X2 ) – (14X1 + 10X2) = 3X1 + 2 X2

otra forma de plantear:

= 27 – 10 - 14= 3

= 21 – 9 – 10 = 2

Entonces se tiene:

Ingresos semanales – costos variables semanales = 3X1 + 2 X2

Restricciones: al aumentar X1 y X2, crece la F.O.( se puede fabricar y vender y obtener una ganancia arbitrariamente grande). Pero los valores de las variables están limitadas por las restricciones.

Restricción 1 No se puede usar mas de 100 horas de acabado cada semana.

Restricción 2 No se puede usar mas de 80 horas de carpintería cada semana.

Restricción 3 Debido a la demanda limitada, se tienen que producir a lo más 40 soldados por semana.

Se supone que la cantidad de materia prima disponible es ilimitada, por lo tanto, no hay ninguna restricción.

Se tiene que representar de manera matemática el problema (F.O.y restricciones)

Horas totales acabado/sem =(h.de Acabado/soldado)(soldado hechos/semana) + (h. de Acabado/tren)(trenes hechos/semana)

= 2(X1)+ 1(X2) = 2X1 + X2 ≤100

Horas totales carpinteria/sem = (h.decarpinteria/soldado)(soldado hechos/semana) + (h. de carpinteria/tren)(trenes hechos/semana)

= 1(X1)+ 1(X2) = 1X1 + X2 ≤80

Ahora se expresa que se pueden vender a lo más 40 soldados por semana, limitando la producción semanal de soldados a 40. este proporciona la siguiente restricción:

X1 ≤ 40

Restricciones de signo (o de no negatividad ) para completar la formulación de un problema de P.L., hay que contestar la siguiente pregunta para cada variable de decisión:

Si una variable de decisión Xi solamente toma los valores no negativos añadimos la restricción de signo Xi ≥ 0 . si una variable Xi puede tomar valores positivos y negativos (inclusive cero) no tiene restricción de signo.

Entonces el problema se presenta:

Max Z = 3X1 + 2 X2 ( F.O.) (1)

2X1 + X2 ≤100 (restricción de acabado) (2)

1X1 + X2 ≤80 (restricción de carpintería) (3)

X1 ≤40 (restricción de demanda de soldados) (4)

X1 ≥ 0 (restricción de signo) (5)

X2 ≥ 0 (restricción de signo) (6)

Sujeto a (s.a) significa que los valores de las variables de decisión X1 y X2 tienen que satisfacer todas las restricciones, incluyendo las restricciones de signo.

SOLUCIÓN GRAFICA

Evaluamos cada punto extremo

Y encontramos el mayor valor de Z = 3X1 + 2 X2 . para encontrar la solución óptima se grafica una línea recta que corresponde