Sistemas lineales resolubles y matrices inversibles con Gauss Jordan.

...

[pic 10]

Paso 2: Solución particular del sistema S0 ( si existe). Usando Gauss_Jordan se hallan los rangos de las matrices A y [ A | B ]

[pic 11]

Si los rangos de A’ y [ A’ | B’ ] son distintos , el sistema no tiene solución, es decir, CS = ∅ ( el conjunto vacío ) y el proceso finaliza. Si los rangos de A’ y [ A’ | B’ ] son iguales a un numero natural k , el sistema tiene solución ; Luego se seleccionan columnas L. I. en la cantidad determinada por el rango de A ( = k ) y se continua el proceso con el paso 3. Veamos que sucede en nuestra ilustración

Proceso de Gauss_Jordan para la matriz [A | B ].

[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

Conclusiones del paso 2 :

rango de A = 4 ; Columnas L. I : C1,A , C2,A , C4,A y C5,A

Rango de [A | B ] = 4; Luego, rango de A = rango de [A | B ] . El sistema tiene solución

Nótese que B = ( 16, – 1, 10 , – 32 ) = –2C1,A + 1C2,A + 0 C4,A + 3C5,A ( comprobar)

Asi B = –2C1,A + 1C2,A + 0 C3,A + 0 C4,A + 3C5,A

Una solución del sistema es S0 = (−2 , 1 , 0, 0, 3) , valores ordenados que acompañan a los Cj,A en la combinación lineal de B . . Es decir ,

Con x1 = −2 , x2 = 1 , x3 = 0 , x4 = 0 , x5 = 3 , se satisface el sistema inicial ( comprobar)

Paso 3. Se escriben todas las ecuaciones del sistema A’X = B’ .

[pic 27][pic 28]= [pic 29] ⇔ [pic 30][pic 31][pic 32]

Obsérvese que las variables con negrilla corresponden a las columnas L. I. seleccionadas y en la ultima simplificación solo queda una de esas variables en cada ecuación del sistema ( reducido); en todas aparece la variable correspondiente a la columna no seleccionada ( la 3ª )

Paso 4. Despeje de las variables de las columnas L.I. seleccionadas en función de las variables de las columnas no seleccionadas. Se observa que en cada una de las ecuaciones del sistema A’X = B’ existe una y solo una variable asociada a una única columna L. I. seleccionada ( Nótese que en el ultimo sistema de la ilustración las variables con negrilla son las correspondientes a las columnas L. I., solo existe una por ecuación).

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

Paso 5. Una n_upla X = ( x1, x2 , . . ., xn) solución del sistema se puede escribir entonces en función de la solución particular s0 del sistema ( paso 2 ) y de las n – k variables asociadas a las n – k columnas no seleccionadas.

En nuestra ilustración se tiene :

X = ( x1, x2 , x3, x4, x5) = (−2 − 2x3, 1 + 1x3 , x3 , 0 , 3 ) = x3 (− 2, 1 , 1 , 0 , 0) + (−2, 1, 0, 0, 3)

= (−2, 1, 0, 0, 3) + t (− 2, 1 , 1 , 0 , 0) , haciendo t = x3 un valor arbitrario

Forma general de la solución : (−2, 1, 0, 0, 3) + t (− 2, 1 , 1 , 0 , 0) , con t ∈ R

Aplicando esta forma , otras dos soluciones particulares son : X1 = (− 4,2,1,0,3 ) , cuando t = 1 ; y X2 = (0,0, −1,0,3 ), cuando t = − 1. (comprobar que ambas son soluciones del sistema AX = B )

Paso 6. Conjunto solución de AX = B : su dimensión y forma geométrica. El conjunto solución se establece a partir de la forma general dada para las n_uplas en el paso anterior.

Lo que a continuación se manifiesta se verifica en la sección que le sigue a esta

∙ Cs es de la forma S0 + CSH , Cs = S0 + CSH

donde CSH es el conjunto solución del sistema homogéneo AX = O y S0 es la solución particular del

sistema hallada en el paso 2.

∙ dimensión del Cs = # variables que aparecen en esa forma general = n – rango de A

∙ Forma geométrica : Objeto lineal n – k dimensional en Rn que pasa por S0, donde k = rango de A.

En nuestra ilustración

Cs = { (−2, 1, 0, 0, 3) + t (− 2, 1 , 1 , 0 , 0) | t ∈ R }

= (−2, 1, 0, 0, 3) + { t (− 2, 1 , 1 , 0 , 0) | t ∈ R }

= S0 + − 2, 1 , 1 , 0 , 0) > .

dimensión Cs = 1 = 5 – rango de A ( 5 es el número de columnas de A ) [4]Nota 4

Cs es “una recta en R5 que pasa por (−2, 1, 0, 0, 3) y tiene dirección (− 2, 1 , 1 , 0 , 0)”

Inquietud: En esta ilustración ¿Cuál es el conjunto solución del sistema homogéneo AX = O ? ¿Por qué?. Rta: Es el subespacio − 2, 1 , 1 , 0 , 0) > y se obtiene de modo similar a como se hizo para el sistema AX = B , solo que la ultima columna es cero ; las transformaciones son las mismas y se llega a

CSH = { t (− 2, 1 , 1 , 0 , 0) | t ∈ R } = − 2, 1 , 1 , 0 , 0) >

CSH es “una recta en R5 que pasa por el origen y tiene dirección (− 2, 1 , 1 , 0 , 0)”

Actividad . Comprobar directamente que W0 =(− 6, 3 , 3 , 0 , 0) ( cuando t = 3) y W1 = (4, −2 , −2 , 0 , 0) ( cuando t = −2) son soluciones del sistema homogéneo AX = O :

[pic 36]

[pic 37]

Actividad # 1 en clase : Sistema lineal NO homogéneo 3 x 4. Dado el siguiente sistema lineal hallar su conjunto solución y describirlo geométricamente. Además dar tres soluciones particulares ( si esto es posible) y hallar el conjunto solución del sistema homogéneo AX = O

[pic 38]

14.3. Actividad refuerzo para el algoritmo de Gauss_Jordan .Hallar el conjunto solución del siguiente sistema AX = B y del sistema homogéneo