Sistemas Mecánicos Lineales

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Este sistema tiene dos nudos como se muestra en la siguiente figura, indicados por las variables velocidades U1(t) y U2(t), donde también se definen los sentidos de desplazamiento , por lo tanto se deben plantear dos ecuaciones de equilibrio.

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[pic 13]

f(t)= M1DU1(t)+ B(U1(t)-U2(t))+

[pic 14]

0= M2DU2(t)+ + B(U2(t)-U1(t))+

[pic 15][pic 16]

El segundo ejemplo es un sistema de movimiento rotacional,

[pic 17]

Al igual que en el caso anterior se debe definir la cantidad de nodos y su sentido de rotación.

[pic 18]

En este sistema también tenemos dos nodos mecánicos y el sentido definido para el movimiento se indica en las variables Ω1(t) y Ω2(t). Por lo tanto tenemos las siguientes dos ecuaciones:

T1(t)=

D Ω1(t)+

. Ω1 (t)+

T2(t)=

D Ω2(t)+

. Ω2 (t)+

+ )+

[pic 19]

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Analogía de Sistemas Mecánicos con Circuitos Eléctricos

Dado el siguiente circuito de una malla:

[pic 20]

Su ecuación de equilibrio es:

v(t)=L⋅Di(t)+R⋅i(t)+

[pic 21]

Para el siguiente circuito de un nudo:

[pic 22]

Su ecuación de equilibrio es:

i(t)=C⋅Dv(t)+G⋅v(t)+

[pic 23]

Donde G es conductancia el inverso de resistencia. Para el siguiente sistema mecánico de un nudo:

[pic 24]

Su ecuación de equilibrio es:

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f(t)= M⋅Du(t)+ B⋅u(t)+

[pic 25]

Si se observan estas 3 últimas ecuaciones ellas son similares en su forma o estructura, en el lado izquierdo de la ecuación cada una tiene la función de una fuente activa, el lado derecho de cada ecuación consta de tres términos el primero es el valor de un elemento multiplicado por la derivada de la variable incógnita, el segundo término es el valor de un elemento multiplicado por la variable incógnita, el tercer término es la integral de la variable incógnita dividido por el valor de un elemento.

Luego se pueden establecer las analogías fuerza voltaje y fuerza corriente, de acuerdo a las tablas de equivalencias que se presentan a continuación:

Analogía fuerza voltaje( f-v)

Tabla de conversión para analogía Fuerza Voltaje( f-v)

Sistema Mecánico

Circuito Eléctrico

Fuerza, f

Voltaje, v

Velocidad, u

Corriente, i

Desplazamiento, x

Carga, q

Masa, M

Inductancia, L

Coeficiente de Amortiguación, B

Resistencia, R

Elasticidad, K

Capacidad, C

[pic 26]

La utilidad de la analogía electromecánica reside en nuestra capacidad de extraer el circuito eléctrico análogo directamente de un sistema mecánico (sin escribir primero la(s) ecuación (es) de movimiento mecánico) y luego resolver el problema por completo como un circuito eléctrico, con técnicas conocidas.

La siguiente regla para dibujar circuitos eléctricos análogos de sistemas mecánicos utilizando analogía f-v será muy útil:

Cada nudo mecánico corresponde a un loop cerrado el que consiste de fuentes de excitación eléctricas y elementos pasivos análogos a las fuentes de energía mecánicas y elementos pasivos conectados al nudo. Todos los puntos sobre una masa rígida son considerados como el mismo nudo.

Obtener las ecuaciones de equilibrio del siguiente sistema mecánico utilizando analogía fuerza voltaje.

[pic 27]

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Se debe primero determinar cuántos nudos mecánicos tiene el sistema mecánico:

[pic 28]

El sistema tiene dos nudos mecánicos como indican las variables ua(t) y ub(t) , por lo tanto el circuito análogo debe contemplar dos loop o mallas:

[pic 29]

Las dos ecuaciones de equilibrio de fuerza obtenidas del circuito de mallas son:

f(t)=M2Dua(t) +

[pic 30]

0= M1Dub(t) +Bub(t)+ +

[pic 31][pic 32]

Analogía fuerza corriente( f-i)

Tabla de conversión para analogía fuerza corriente( f-i)

Sistema Mecánico

Circuito