Transformaciones lineales.

...

f(¸ ¢ s) 2 f(S), puesto que ¸ ¢ s 2 S.

2. Sea T un subespacio de W y consideremos f¡1(T) = fv 2 V = f(v) 2 Tg.

(a)0V 2 f¡1(T), puesto que f(0V ) = 0W 2 T.

(b) Sean v; v0 2 f¡1(T). Entonces f(v); f(v0) 2 T y, por lo tanto, f(v + v0) = f(v) +

f(v0) 2 T. Luego v + v0 2 f¡1(T).

(c) Sean ¸ 2 K, v 2 f¡1(T). Entonces f(v) 2 T y, en consecuencia, f(¸¢v) = ¸¢f(v) 2

T. Luego ¸ ¢ v 2 f¡1(T).

Hallar, si es posible, una transformación lineal f : R2 ! R2 que verifique f(1; 1) =

(0; 1) y f(1; 0) = (2; 3).

Dado (x1; x2) 2 R2 se tiene que (x1; x2) = x2(1; 1)+(x1¡x2)(1; 0). Entonces, si f verifica

lo pedido, debe ser

f(x1; x2) = x2:f(1; 1) + (x1 ¡ x2):f(1; 0) = x2:(0; 1) + (x1 ¡ x2):(2; 3) = (2x1 ¡ 2x2; 3x1 ¡ 2x2):

Además, es fácil ver que esta función es una transformación lineal y que vale f(1; 1) = (0; 1) y f(1; 0) = (2; 3).

Luego, f(x1; x2) = (2x1 ¡ 2x2; 3x1 ¡ 2x2) es la única transformación lineal que satisface lo pedido. La construcción realizada en el ejemplo puede hacerse en general. Por simplicidad, lo probaremos para el caso en que el dominio de la transformación lineal es un K-espacio vectorial de dimensión finita.

Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V ! W una transformación

Lineal. Se dice que:

1. f es un monomorfismo si f es inyectiva.

2. f es un epimorfismo si f es suryectiva.

3. f es un isomorfismo si f es biyectiva.

En algunos casos, consideraremos transformaciones lineales de un K-espacio vectorial en

Sí mismo:

Sea V un K-espacio vectorial. Una transformación lineal f: V! V se llama un endomorfismo de V. Si f es un endomorfismo que es además un isomorfismo, entonces se dice que es un automorfismo.

Núcleo e imagen de una transformación lineal

A una transformación lineal f: V! W podemos asociarle un subespacio de V, llamado su núcleo, que de alguna manera mide el tamaño de la pre-imagen por f de un elemento de su Imagen. En particular, conocer este subespacio nos permitirá determinar si f es inyectiva.

Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V ! W una transformación lineal. Se llama núcleo de f al conjunto Nu(f) = fv 2 V = f(v) = 0g = f¡1(f0g).

Observamos que si f : V ! W es una transformación lineal, Nu(f) es un subespacio de V, puesto que es la pre-imagen por f del subespacio f0g ½ W.

Sea f : R3 ! R2 la transformación lineal definida por f(x1; x2; x3) = (x1; x2).

Entonces:

Nu(f) = f(x1; x2; x3) 2 R3 : f(x1; x2; x3) = 0g

= f(x1; x2; x3) 2 R3 : x1 = x2 = 0g

= (0; 0; 1) > :

La siguiente proposición nos da una manera de determinar si una transformación lineal es un monomorfismo considerando simplemente su núcleo.

Sea f: V! W una transformación lineal. Entonces f es monomorfismo () Nu(f) = f0

Demostración.

()) Si f es un monomorfismo, entonces es una función inyectiva. En particular, existe a lo

Sumo un elemento v 2 V tal que f(v) = 0. Puesto que f(0) = 0, debe ser v = 0. Luego, Nu(f) = f0g.

(() Sean v; v0 2 V. Supongamos que f(v) = f(v0). Entonces f(v ¡ v0) = f(v) ¡ f(v0) = 0, con lo que v¡v0 2 Nu(f) y por lo tanto, la hipótesis Nu(f) = f0g implica que v¡v0 = 0, es decir, v = v0. Luego f es inyectiva. ¤ Otro conjunto importante asociado a una transformación lineal es su imagen. Recordamos que si f : V ! W, su imagen se define como Im(f) = fw 2 W = 9 v 2 V; f(v) = wg. De la Proposición 3.3 se desprende que la imagen de una transformación lineal f : V ! W resulta ser un subespacio de W.

[pic 9]

Luego, Im(f) = (1;¡1; 2); (¡1; 1;¡2); (0; 0; 1) > = (1;¡1; 2); (0; 0; 1) >.

Otra manera de calcular la imagen de f, teniendo en cuenta que es una transformación lineal, es la siguiente: Consideremos un sistema de generadores de R3, por ejemplo la base canónica fe1; e2; e3g. Para cada x 2 R3 se tiene que x = x1:e1 + x2:e2 + x3:e3, de donde resulta que f(x) = x1:f (e1) + x2:f (e2) + x3:f (e3):

Luego,

Im(f) = ff(x) : x 2 R3g = (e1); f(e2); f(e3) > =

= (1;¡1; 2); (¡1; 1;¡2); (0; 0; 1) > = (1;¡1; 2); (0; 0; 1) >:

La proposición siguiente generaliza el segundo de los procedimientos utilizados en el ejemplo anterior para el cálculo de la imagen de una transformación lineal.

Matriz de una transformación lineal

Si V y W son K-espacios vectoriales de dimensión n y m respectivamente, una transformación lineal f: V! W queda unívocamente determinada por la n vector de W que son los valores de f en una base cualquiera de V. Además, fijada una base de W, esta n vector queda determinados por medio de sus vectores de coordenadas en Km. Se define entonces una matriz asociada a f que contiene toda esta información.

[pic 10]

[pic 11]

Nuestro siguiente objetivo es mostrar que el rango fila y el rango columna de una matriz coincide. Para hacer esto nos basaremos en la observación anterior. Primero mostraremos que el rango columna de una matriz A no cambia si se la multiplica a izquierda o derecha por matrices inversibles.

Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

Reflexión