Transformaciones geométricas y lineales

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Entonces T2 se denomina inversa de T1 y se escribe T2 = T1-1.

No toda transformación lineal es invertible. Para que una transformación inversa exista debe cumplir con las siguientes condiciones.

- T es invertible.

- T es un isomorfismo.

- A es invertible.

Dónde: -T es una transformación lineal T: Rn→Rn.

-A es la matriz estándar de T.

Además cabe señalar que si T es invertible con matriz estándar A, la matriz estándar de T-1 es A-1

EJEMPLO: demostración de la transformación R3→R3 sea invertible y determinación de su inversa.

[pic 11]

La matriz estándar A de T es invertible. Más precisamente:

, [pic 12][pic 13]

Por lo tanto T es invertible y la matriz estándar de T-1 es A-1. Entonces:

[pic 14]

DEFINICION DE VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS.

Si λ es un valor característico de una matriz A y v es un vector característico de A correspondiente a λ, entonces la multiplicación de v por la matriz A produce un vector λv.

Lo anterior se define de la siguiente manera: sea A una matriz de n x n con componentes reales el número λ, ya sea real o complejo, se denomina valor característico de A si existe un vector v diferente de cero tal que

Av = λv

El vector v≠0 se llama vector característico de A correspondiente a λ (valor característico).

EJEMPLO:

Sea , entonces por lo tanto es un vector propio de A asociado al valor propio λ1=. [pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

Además por lo tanto es un vector propio de A asociado al valor propio λ2=.[pic 19][pic 20][pic 21]

SUBESPACIO GENERADO POR LOS VECTORES CARACTERÍSTICOS.

Si A es una matriz n x n que tiene un valor característico λ, el subespacio Eλ se denomina espacio característico o propio de A correspondiente a λ.

EJEMPLO:

Sea geométricamente, al multiplicar un vector (x, y) en R2 por la matriz A corresponde de A una reflexión en el eje y. Por lo tanto v = (x, y), entonces[pic 22]

Av = debido a que el hecho de que los únicos vectores reflejados sobre múltiplos escalares de ellos mismos son aquellos que están sobre el eje x o sobre el eje y.[pic 23]

Para un vector sobre el eje x para un vector sobre el eje y

[pic 24][pic 25]

Por tanto los valores característicos a λ1 = -1 son los valores diferentes de 0 que están sobre el eje X; lo mismo para los vectores característicos correspondientes a λ2 = 1 pero que estén sobre el eje Y y diferentes de 0. Esto implica que el espacio propio correspondiente a λ1 = -1 es el eje X y el espacio propio correspondiente a λ2 = 1 es el eje Y.

CONCEPTO DE MATRICES SEMEJANTES Y DIAGONALIZACIÓN.

Matrices semejantes.

Dos matrices A y B de n x n son semejantes si existe una matriz invertible C de n x n tal que:

B = C-1 AC

Al suponer que B = C-1 AC. Entonces, al multiplicar por la izquierda por C, se obtiene CB = CC-1 AC, o sea, CB = AC. Esta ecuación se toma con frecuencia como definición alternativa de semejanza.

De tal manera lo anterior se define como: A y B son semejantes si y sólo si existe una matriz no singular C tal que:

CB=AC

EJEMPLO:

Sea Entonces Así, CB = AC. Como det C = 1≠ 0, C es invertible, por lo tanto A y B son semejantes.[pic 26][pic 27]

Diagonalización.

Una matriz A de n x n es diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal que A es semejante a D.

A es diagonalizable si existe una matriz invertible P tal que: P-1AP

La Diagonalización de una matriz puede darse si se cumple con la siguiente condición: una matriz de A de n x n es diagonalizable sí y sólo si tienen n vectores característicos linealmente independientes.

EJEMPLO:

Sea con valores propios λ1 = 2 y λ2 = 3 y vectores propios x1 = y x2 = . Siendo linealmente independientes los vectores propios se puede decir que A es diagonalizable. De ahí que:[pic 28][pic 29][pic 30]

[pic 31]

Por lo tanto: [pic 32]

Por otra parte, si λ1 = 3 y λ2 = 2, entonces x1 = y x2 =, por lo tanto: [pic 33][pic 34]

[pic 35]

En consecuencia: [pic 36]

VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS DE UNA MATRIZ SIMÉTRICA.

Sea A una matriz simétrica real de n x n, entonces los valores propios son reales.

Sea A una matriz simétrica real de n x n, entonces A tiene n vectores propios reales ortonormales.

Si λ un valor propio de A con multiplicidad k, entonces λ tiene k vectores propios linealmente independientes, es decir, el espacio propio de λ es de dimensión k

EJEMPLO:

A= se tiene el polinomio propio de A dado por[pic 37]

|λI – A| = = (λ – 1)2 (λ – 3)2[pic 38]

Por lo tanto los valores propios de A son λ1 = -1 y λ2 = 3. Dado que cada uno de estos valores propios tiene multiplicidad 2, se sabe que también los espacios propios correspondientes son de dimensión 2. Específicamente, la base del espacio propio de λ1 = -1 es

[pic 39]