GRAFO n-RESIDUAL MÓDULO m Y SU APLICACIÓN EN LA ESTRUCTURACIÓN DE RESIDUOS n-ÁDICOS n-RESIDUAL MODULE m GRAPH AND ITS

⃝c REVISTA DE MATEMÁTICA: TEORÍA Y APLICACIONES 2019 26(2) : 299–318 CIMPA – UCR ISSN: 1409-2433 (PRINT), 2215-3373 (ONLINE)

DOI: https://doi.org/10.15517/rmta.v26i2.38320

GRAFO n-RESIDUAL MÓDULO m Y SU

APLICACIÓN EN LA ESTRUCTURACIÓN DE RESIDUOS n-ÁDICOS

n-RESIDUAL MODULE m GRAPH AND ITS

APPLICATION IN STRUCTURING

n-ADIC RESIDUALS

IVETH MARTÍNEZ∗ RENÉ SOLÍS† 

Received: 19/Apr/2018; Revised: 25/Jun/2019;

Accepted: 28/Jun/2019

∗Universidad de Panamá, Centro Regional Universitario de Panamá Oeste, Departamento de Matemática, Provincia de Panamá Oeste, Panamá. E-Mail: iveth.martinez@up.ac.pa †Universidad Tecnológica de Panamá, Facultad de Ciencias y Tecnología, Departamento de Matemática, Ciudad de Panamá, Panamá. E-Mail: rene.solis@utp.ac.pa

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Resumen

En este estudio analizamos el comportamiento de los residuos de un módulo elevado a una potencia n y su relación con los conjuntos n-residuales, los grafos de residuos de potencia, llamados grafos n-residuales y las raíces primitivas en el mismo módulo. Con los con juntos obtenidos, los grafos reducidos y árboles complementarios, se es tablecieron algunas propiedades que se comprobaron en rutinas desarro lladas con Mathematica, brindando una interpretación visual de las estruc turas, objeto del estudio, permitiendo realizar varias pruebas con distintos valores de número primo impar p. Con lo cual, se llegó a algunas conje turas interesantes con posibles resultados formales.

Palabras clave: raíces primitivas; conjunto n-residual; residuos n-ádicos; n-grafos.

Abstract

In this study we analyze the behavior of the residuals of a module, raised to a power n and its relation with the n-residual sets, the graphs of residuals of power, called n-residual graphs and the primitive roots in the same module. With the obtained sets, the reduced graphs and comple mentary trees were established some properties that are analyzed in rou tines developed with Mathematica, providing a visual interpretation of the structures, object of the study, and allowing several tests with different val ues for odd prime number p. With obtained some interesting conjectures with possible formal results.

Keywords: primitive roots; n-residual set; n-adic residuals; n-graphs. Mathematics Subject Classification: 11F33.

1 Introducción

Una de las herramientas más importantes en la teoría elemental de los números es la aritmética modular o congruencias, la cual relaciona dos cantidades que dividido por un tercero, llamado módulo, dejan el mismo resto. Estos restos o residuos pueden ser generados por raíces primitivas, el cual genera un conjunto de números coprimos al módulo.

Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN print: 1409-2433; online: 2215-3373) Vol. 26(2): 299–318, Jul–Dec 2019

GRAFO n-RESIDUAL MÓDULO m Y SU APLICACIÓN EN . . . 301

La aritmética modular, proporciona ejemplos clave para la teoría de grupos, la teoría de anillo y el álgebra abstracta. Estos conceptos no solo se limitan a la teoría sino que también son de gran apoyo en diversas aplicaciones, como el cálculo de las sumas de verificación dentro de identificadores, en el caso de cuentas bancarias. En criptografía, esta teoría respalda directamente los sistemas de clave pública siendo la base de diversos algoritmos de clave simétrica. En in formática, se aplica a menudo en operaciones bitwise y otras que involucran estructuras de datos cíclicos de ancho fijo. El último número de regisro CAS, que es un número único para cada compuesto químico, es de gran apoyo en la química. En general, también es utilizado en otras disciplinas como la compleji dad computacional, la música, las leyes, la economía y otras áreas de las ciencias sociales donde la división proporcional y la asignación de recursos juega una parte importante del análisis.

En este trabajo se estudiarán los conjuntos n-residuales de módulo m, sus propiedades y su relación con el conjunto de raíces primitivas, con el apoyo de los grafos de residuos de potencia. Para su análisis, haremos uso del álgebra computacional, fundamentándonos en el software Mathematica, con el cual se mostrarán algunas de las rutinas diseñadas para tal fin. Iniciamos con algunos conceptos básicos importantes para el entendimiento y desarrollo sistemático de la teoría, hasta culminar con el establecimiento y comprobación de algunas pro piedades, así como el estudio del comportamiento de las estructuras obtenidas.

2 Preliminares

Decimos que un entero b es divisible por un entero no nulo a, si existe un entero x tal que b = ax y se denota a|b (a - b es su negación). El máximo común divisor de dos números a y b, es el mayor entero c que divide a ambos y lo denotaremos (a, b) = c. Del mismo modo, el mínimo común múltiplo, es el menor entero d que contenga a a y b, denotado [a, b] = d. Recordemos que dos números enteros positivos a y b son primos relativos o coprimos si (a, b) = 1.

Los números enteros cumplen propiedades que se pueden revisar en [10], entre estas uno de los resultados importantes de esta teoría es el algoritmo de división que se enuncia a continuación.