Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 (cuadrático)

ANALISIS NUMERICO

e-mail:   lopezh747@gmail.com                        Lic. Héctor  López

Ejemplo Teorema Fundamental del Cálculo

• [pic 1]

1. Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 (cuadrático) en X0=1

Forma general de Taylor.

[pic 2][pic 3]

[pic 4]

Calculando la primera derivada:

[pic 5]

[pic 6]

Calculando la segunda derivada:

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

Retomando…

[pic 11]

1. Aproximar f(1.2) usando  [pic 12]

Nota: entre más alejado de x0,   habrá más error.

[pic 13] 

OBS:  Aproxime hasta cuatro cifras decimales.

F(1.2) = 6.1963

1. Error absoluto de la aproximación.

[pic 14]

Calculando f(1.2)

[pic 15]

Retomando…

[pic 16]

• Determinar el máximo valor  [pic 17],  

Si  [pic 18]

OBS: Usar Teorema de extremos relativos (se puede dar en los extremos del intervalo o donde la derivada sea nula).

Encontrando la derivada nula:

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]          NO EXISTE, no hay un valor donde la derivada sea nula.

OBS: Si hubiese, deberá estar dentro del intervalo.

En los extremos…  

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

Nota: Coloque  ambas en valor absoluto para elegir.

En f(2) está el máximo.

[pic 27]

METODOS NUMERICOS PARA RESOLVER  ECUACIONES NO LINEALES

1. M. de bisección (punto medio)
2. M.  de punto fijo.
3. M. de Newton.

Problema a resolver:  f(x)=0

Método de Bisección

 Tenemos que estar seguro que existe la solución a esa ecuación.  Basarse en el Teorema de  valor intermedio.

Condiciones para aplicar el método:

1. La función debe ser continua en el intervalo.
2. Las imágenes en los extremos  del intervalo donde se busca la solución deben tener signos distintos)

Resumen

[pic 28]

[pic 29]

Se garantiza que existe P tal que f(p)=0

¿Cómo se determina?

[pic 30]

Pasos:

• Encontrar  el punto medio      P1 = (a + b) / 2
• Buscar imagen de P1, observando el signo (que debe tener) para seguir cumpliendo lo de los signos distintos.

[pic 31]

• Con  a, no se puede ya que los signos son iguales.
• Con b existe una solución más precisa.

• Sustituir P1 en a.

[pic 32]

P2= (a + b ) / 2

Imagen de P2 > 0,  mismo signo.

[pic 33]

 Sustituir P2 en b.

• Encontrar P3 = (a + b) /2

F(p3)>0

• Sustituir P3 en P2

[pic 34]

FORMAS PARA LA ITERACION

1. Usando el error absoluto entre dos sucesivas:

[pic 35]

Nota: Entre más pequeño sea épsilon, se harán más iteraciones.

1. Error relativo:

[pic 36]

22/09/15

• Determine la solución de  [pic 37]   en    [ -1 , 2] con precisión  de [pic 38]  usando método de bisección.

SOLUCION

[pic 39]                        < 0

[pic 40]                                >0

Si hay solución por el teorema del valor medio.

[pic 41]

Para parar usar valor absoluto.

• [pic 42]
• [pic 43]                        >0

OBS:

El negativo es  a = -1.     Como f(p1) dio  positivo el valor b= 2 cambia por f(p1)

• [pic 44]
• [pic 45]                        >0

• [pic 46]

• [pic 47]                                <0

• [pic 48]

• [pic 49]                        <0

• [pic 50]

SOLUCION:  

[pic 51]

OBS: Cuando buscamos la imagen de f(Pn) buscamos cual tiene ese signo,  y lo dejamos fijo (imagen) y hacemos el cambio en la otra.

  a= -1, b= 2

Calculo de valores de error absoluto:

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

TEOREMA

Sea

[pic 56]

[pic 57]

Al aplicar el método de bisección para resolver  f(x) = 0 se genera  una solución P1, P2…  que converge  a la solución P y que cumple: