OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMA / EJERCICIOS RESUELTOS

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Definición de resta de polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica formada mediante la unión de dos o más constantes y variables, relacionadas a través de operaciones de resta, suma o multiplicación. Con los polinomios se pueden llevar a cabo distintos cálculos.[pic 1]

Para realizar una resta de polinomios, es necesario agrupar los monomios (las expresiones de un único término) de acuerdo a sus características y proceder a la simplificación de aquellos que resultan semejantes. La operación en sí se realiza sumando el opuesto del sustraendo al minuendo.

Tomemos el siguiente ejemplo: P(x) − Q(x) = (4×3 + 2x − 5) − (3×3 − 4×2 + 5x)

Según lo explicado anteriormente, tenemos que modificar los signos del sustraendo para realizar la operación: 4×3 + 2x − 5 − 3×3 + 4×2 − 5x. Como se puede advertir, los signos del minuendo no cambian (4×3 + 2x − 5).

Hecho esto, debemos agrupar y simplificar los monomios: 4×3 − 3×3 + 4×2 + 2x − 5x − 5.

Finalmente completamos la operación de acuerdo a los monomios que quedaron: x3 + 4×2 − 3x − 5.

El resultado de la resta de polinomios (4×3 + 2x − 5) − (3×3 − 4×2 + 5x) es, en definitiva, x3 + 4×2 − 3x − 5.

Otra forma de restar polinomios consiste en escribir el opuesto de cada uno debajo del otro. Así, los monomios semejantes quedarán encolumnados y podemos proceder a sumarlos.

Es importante tener en cuenta que no importa cuál de las técnicas de resta de polinomios elijamos: el resultado de la operación, siempre que se realice correctamente, será el mismo.

Los polinomios tienen diversas aplicaciones fuera del ámbito de las matemáticas y, del mismo modo que ocurre con muchos otros conceptos a simple vista demasiado específicos, no siempre somos conscientes de ello. Uno de los casos en los que son de gran ayuda es la alineación de antenas electromagnéticas, algo que muchas personas hacen a diario cuando instalan redes de Internet inalámbrico (Wi-Fi).

[pic 2]Para diseñar una antena de 2.4 GHz capaz de conectar equipos a una red Wi-Fi es necesario hacer uso de los polinomios de Chebyshev, que permiten distribuir adecuadamente la corriente en cada elemento del arreglo y hallar las dimensiones físicas apropiadas basándose en dichos datos. Los polinomios de Chebyshev recibieron este nombre en homenaje al matemático ruso Pafnuti Chebyshev, y se trata de una familia que puede ser definida de manera recursiva fácilmente, lo mismo que sucede con los números de Fibonacci, por ejemplo.

Otra de las aplicaciones de los polinomios se encuentra en la biología, ya que es posible realizar el cálculo de población de un cultivo de bacterias a través de expansiones de polinomios. Por expansión de un producto de sumas se entiende en matemáticas una suma de productos (la multiplicación es distributiva con respecto a la suma); en el caso de los polinomios, esto se puede obtener reemplazando repetidamente subexpresiones que multipliquen otras dos (al menos una de las cuales debe ser una suma) por la equivalente suma de productos, y así hasta que la expresión completa se convierte en una suma de productos.

También dentro de la biología, los polinomios se usan para el cálculo de la estructura en tres dimensiones de las proteínas (cristalografía de los rayos x) y para conocer cuánto se ha propagado una enfermedad partiendo del contacto que ha tenido lugar entre un grupo de personas contagiadas y otro de personas sanas. La estadística también los aprovecha, de hecho más que otros campos; por ejemplo, para estimar las ventas potenciales de una compañía a lo largo del siguiente año fiscal, o para pronosticar el clima tomando en cuenta variables tales como la temperatura, las masas de aire y la presión.

Como puede apreciarse, la resta de polinomios es un procedimiento sencillo en comparación con otros que también involucran este tipo de expresiones algebraicas, pero eso no significa que no esté presente como parte de algunos de ellos.

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Multiplicación por polinomios

La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto.

La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados tres polinomios cualesquiera [pic 3] se cumplirá que [pic 4]. Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera.

Asimismo, el producto de polinomios también cumplía la propiedad conmutativa. Es decir, que dados los polinomios cualesquiera [pic 5], se cumplirá que [pic 6]. Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el producto.

Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse los cuatro puntos siguientes:

a) Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá signo positivo.[pic 7]

b) Si el multiplicador tiene signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo.[pic 8]

c) Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo.[pic 9]

d) Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo positivo.[pic 10]

Por lo que podemos concluir en la Regla de los Signos, siguiente:

+

⋅

+

= +

+

⋅

-

= -

-

⋅