Leyes y teoremas del algebra booleana
Enviado por Luis Lemus • 12 de Junio de 2021 • Apuntes • 1.718 Palabras (7 Páginas) • 596 Visitas
LEYES Y TEOREMAS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE
LEYES Y TEOREMAS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE
Leyes fundamentales
El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.
Ley de idempotencia: A + A = A y A • A = A
Ley de involución: (A')' = A
Ley conmutativa: A + B = B + A y A • B = B • A
Ley asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C y A • (B • C) = (A • B) • C
Ley distributiva: A + B • C = (A + B) • (A + C) y A • (B + C) = A • B + A • C
Ley de absorción: A + A • B = A y A • (A + B) = A
Ley de De Morgan: (A + B)' = A' • B' y (A • B)' = A' + B'
Principio de dualidad
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión con los de intersección, y de los 1 con los 0.
Adición | Producto | |
1 | A + A' = 1 | A • A' = 0 |
2 | A + 0 = A | A • 1 = A |
3 | A + 1 = 1 | A • 0 = 0 |
4 | A + A = A | A • A = A |
5 | A + B = B + A | A • B = B • A |
6 | A + (B + C) = (A + B) + C | A • (B • C) = (A • B) • C |
7 | A + B • C = (A + B) • (A + C) | A • (B + C) = A • B + A • C |
8 | A + A • B = A | A • (A + B) = A |
9 | (A + B)' = A' • B' | (A • B)' = A' + B' |
Teorema de Morgan
El teorema de MORGAN sirve para transformar funciones que se SUMAN en funciones que se MULTIPLICAN o VICEVERSA [pic 1]
La aplicación de este teorema es fundamental porque permite reemplazar una compuerta OR por una AND o realizar un circuito lógico UTILIZANDO SOLAMENTE compuertas NAND. veamos...........
[pic 2]
Ahora representamos la función original con compuertas combinadas...
[pic 3]
Veremos cómo se representa la función obtenida despues de aplicar el teorema de MORGAN...
[pic 4]
La ventaja de esta práctica es que sólo tenemos que comprar un solo tipo de integrados (COMPUERTAS NAND) |
Aplicación . El Teorema de Morgan permite transformar funciones producto en funciones suma y viceversa. Su principal aplicación práctica es realizarcircuitos digitales utilizando un solo tipo de compuerta. También es muy utilizado en el álgebra booleana para obtener el complemento de una expresión o una función, además para simplificar expresiones y funciones booleanas.
El teorema de Morgan es una herramienta muy útil para desarrollar circuitos digitales, ya que permite obtener la función de una compuerta lógica con la combinación de otras compuertas lógicas, por ejemplo se puede realizar la función de la compuerta NAND con una compuerta OR y dos compuertas inversoras, y se puede obtener la función de una compuerta NOR con una compuerta AND y dos compuertas inversoras. [pic 5]
Ejemplo de aplicación práctica
- En este ejemplo vamos a obtener la función de una compuerta NAND de tres entradas a partir de la combinación de una compuerta OR de tres entradas y tres compuertas inversoras, o la combinación de tres compuertas OR de dos entradas y tres compuertas inversoras.
Compuerta NAND
[pic 6]
Combinación de la compuerta OR y los tres inversores
[pic 7]
- En este ejemplo vamos a obtener la función de una compuerta NOR de tres entradas a partir de la combinación de una compuerta AND de tres entradas y tres compuertas inversoras, o la combinación de tres compuertas AND de dos entradas y tres compuertas inversoras.
Compuerta NOR
[pic 8]
Combinación de la compuerta AND y los tres inversores
[pic 9]
Leyes de Morgan
Las Proposiciones
Una proposición es una afirmación que puede recibir un valor de verdad falso (F), o bien verdadero (V), pero no ambos a la vez.
Su denotación generalmente la encontramos con las letras (p, q, r)
Conectores Lógicos
Podemos formar nuevas proposiciones a partir proposiciones dadas mediante el uso de conectivos lógicos. Algunos de ellos son:
^ “y” conjunción
v “o” disyunción
-> “si —, entonces” implicación
<-> “si y sólo si” doble implicación
¬ “no” negación
Leyes de Morgan
Son una parte de la Lógica proposicional, analítica ,y fueron creada por Augustus de Morgan.
Estas declaran las reglas de equivalencia en las que se muestran que dos proposiciones pueden ser lógicamente equivalentes.
Las Leyes de Morgan permiten:
El cambio del operador de conjunción en operador de disyunción y viceversa.
Las proposiciones conjuntivas o disyuntivas a las que se aplican las leyes de Morgan pueden estar afirmadas o negadas (en todo o en sus partes).
Casos:
¬(P ^ Q) ≡ (¬P v ¬Q)
Si nos encontramos con una proposición conjuntiva totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición disyuntiva con cada uno de su miembros negados
¬(P v Q) ≡ (¬P ^ ¬Q)
Si nos encontramos con una proposición disyuntiva totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición conjuntiva con cada uno de sus miembros negados
(P ^ Q) ≡ ¬ (¬ P v ¬ Q)
Si nos encontramos con una proposición conjuntiva afirmada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición disyuntiva negada en su totalidad y en sus miembros.
(P v Q) ≡ ¬(¬P ^ ¬Q)
Si nos encontramos con una proposición disyuntiva afirmada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición conjuntiva negada en su totalidad y en sus miembros
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