Algebra Booleana Semana 8

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- Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x

Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx

Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)

Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)

Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz

Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)

Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x

Identidad respecto a la segunda función: x1 = x

Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1

Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0

Propiedades Del Álgebra De Boole

- Idempotente respecto a la primera función: x + x = x

Idempotente respecto a la segunda función: xx = x

Maximalidad del 1: x + 1 = 1

Minimalidad del 0: x0 = 0

Involución: x'' = x

Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x

Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = xLey de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y'

Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'

Función Booleana

Una función booleana es una de A x A x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole.

Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cada uno puede votar sí o no. Representemos el voto de cada uno por xi. La función devolverá sí (1) cuando el número de votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolverá 0.

Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la función booleana devolverá 0.

Producto mínimo (es el número posible de casos) es un producto en el que aparecen todas las variables o sus negaciones.

El número posible de casos es 2n.

Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a los amigos. Los posibles casos son:

Votos Resultado

ABCD

1111 1

1110 1

1101 1

1100 0

1011 1

1010 0

1001 0

1000 0

0111 1

0110 0

0101 0

0100 0

0011 0

0010 0

0001 0

0000 0

Las funciones booleanas se pueden representar como la suma de productos mínimos (minterms) iguales a 1.

En nuestro ejemplo la función booleana será:

f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + AB'CD + A'BCD

Diagramas De Karnaugh

Los diagramas de Karnaugh se utilizan para simplificar las funciones booleanas.

Se construye una tabla con las variables y sus valores posibles y se agrupan los 1 adyacentes, siempre que el número de 1 sea potencia de 2.

En esta página tienes un programa para minimización de funciones booleanas mediante mapas de Karnaugh

4. Álgebra Booleana y circuitos electrónicos

La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, de hecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos de compuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico y viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las compuertas lógicas homónimas

Un hecho interesante es que es posible implementar cualquier circuito electrónico utilizando una sola compuerta, ésta es la compuerta NAND

Para probar que podemos construir cualquier función booleana utilizando sólo compuertas NAND, necesitamos demostrar cómo construir un inversor (NOT), una compuerta AND y una compuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como se dijo, es posible implementar cualquier función booleana utilizando sólo los operadores booleanos AND, OR y NOT. Para construir un inversor simplemente conectamos juntas las dos entradas de una compuerta NAND. Una vez que tenemos un inversor, construir una compuerta AND es fácil, sólo invertimos la salida de una compuerta NAND, después de todo, NOT ( NOT (A AND B)) es equivalente a A AND B. Por supuesto, se requieren dos compuertas NAND para construir una sola compuerta AND, nadie ha dicho que los circuitos implementados sólo utilizando compuertas NAND sean lo óptimo, solo se ha dicho que es posible hacerlo. La otra compuerta que necesitamos sintetizar es la compuerta lógica OR, ésto es sencillo si utilizamos los teoremas de DeMorgan, que en síntesis se logra en tres pasos, primero se reemplazan todos los "·" por "+" después se invierte cada literal y por último se niega la totalidad de la expresión:

A OR B

A AND B.......................Primer paso para aplicar el teorema de DeMorgan

A' AND B'.....................Segundo paso para aplicar el teorema de DeMorgan

(A' AND B')'..................Tercer paso para aplicar el teorema de DeMorgan

(A' AND B')' = A' NAND B'.....Definición de OR utilizando NAND

Si se tiene la necesidad