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AJUSTE DE CURVAS E INTERPOLACIÓN

Enviado por   •  25 de Febrero de 2018  •  4.069 Palabras (17 Páginas)  •  381 Visitas

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...

Que en forma compacta la podemos escribir como

[pic 9] (4.3)

donde

[pic 10] (4.3)

[pic 11] (4.5)

son llamadas las funciones cardinales.

El polinomio de Lagrange se expresa como:

[pic 12]

El siguiente programa determina los coeficientes del polinomio de Lagrange.

% ESTE PROGRAMA CALCULA LOS COEFICIENTES DEL POLINOMIO DE LAGRANGE.

%Polinomios de Interpolación de Lagrange

%Marco Antonio Rodríguez R.

%23/Nov/09

%

function [l,L]=lagranp(x,y)

%Entradas: x = [x0,x1,...xn]; y = [y0,y1,...yn]

%Salideas: l = Coeficientes del polinomio de Lagrange de grado N.

%L = Coeficientes polinomiales de Lagrange

N = length(x)-1; % N es el grado del polinomio

l = 0;

for m = 1:N+1

p = 1;

for k = 1:N+1

if k ~= m

p = conv(p,[1 -x(k)])/(x(m)-x(k)); end

end

L(m,:)=p; %Coeficientes polinomiales de Lagrange

l = l + y(m)*p; %Polinomio de Lagrange

end

%El resultado de correr este programa es un polinomio de grado N. Para ver

%su gráfica puede calcular el polinomio obtenido con yy = polyval(l,xx), donde

%xx es el vector de [x0:0.01:xn]. Use el comando plot y haga la gráfica del

%polinomio encontrado junto con los puntos de los datos discretos. Pudiera

%ser como: plot(xx,yy,x,y,'rd')

% También puede utilizar el polinomio encontrado para realizar una

% interpolación numérica mediante el comando polyval(l,xi), donde xi = al vector de valores en x para los que se desea encontrar y.

% l = polinomio de Lagrange.

Ejemplo 4.1

Calcule el polinomio de Lagrange dados los datos siguientes.

[pic 13]

-2

-1

1

2

[pic 14]

-6

0

0

6

e interpole la función en -1.5 y 1.5.

Solución. Para correr el programa anterior y obtener la gráfica correspondiente al polinomio ejecute los comandos siguientes:

x=[-2 -1 1 2]; % Escriba los vectores con los datos

y=[-6 0 0 6];

l=lagranp(x,y) % Se llama al programa y la salida es el vector l, con los coeficientes del polinomio de lagrange

l =

1 0 -1 0

xx=-2:0.02:2; yy=polyval(l,xx); % Se define un vector xx y el yy. Este evaluado con el vector xx.

clf, plot(xx,yy,'b',x,y,'og'),grid % Se obtiene la gráfica continua (xx, yy) y la de puntos (x,y).

[pic 15]

Figura 4.2 Gráfica de un polinomio de Lagrange de tercer grado.

Para interpolar en x= -1.5 y x=1.5 el polinomio obtenido se evalúa mediante el comando polyval de Matlab.

Intepolacion = polyval(l,[-1.5,1.5])

intepolacion =

-1.8750 1.8750

Ejemplo 4.2

Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:

x

1

3

5

7

y

-2

1

2

-3

Solución. Tenemos que:

[pic 16]

[pic 17]

donde:

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda definido como sigue:

[pic 22]

4.2 Polinomio de interpolación de Newton

Una desventaja de interpolación de Lagrange es que si añadimos otro punto n + 1, tenemos que calcular todos los polinomios de Lagrange nuevamente desde cero y aunque el método de Lagrange es conceptualmente simple, su algoritmo no es muy eficiente. Un mejor procedimiento computacional es el método de Newton debido a que evita esta dificultad de calcular muchos polinomios del mismo grado. El polinomio de interpolación de Newton se expresa como

[pic

...

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