Administracion tributaria. IMPORTANCIA DE LA ASIGNATURA.

...

ax2 + bx + c = 0

Donde a, b y c son constantes y a ≠ 0.

Una ecuación cuadrática también es llamada ecuación de segundo grado o ecuación de grado dos, ya que la potencia más grande que aparece en ella es la segunda. Mientras que una ecuación lineal sólo tiene una raíz, una ecuación cuadrática puede tener dos raíces diferentes.

1.1 Solución por factorización.

Un método útil para resolver ecuaciones cuadráticas está basado en la factorización. Como lo muestran los ejemplos siguientes.

Resolver [pic 4]

El lado izquierdo se factoriza con facilidad:

(x - 3)(x + 4) = 0.

Piense en esto como dos cantidades, x - 3 y x + 4, cuyo producto es cero. Siempre que un producto de dos o más números sea cero, entonces, al menos uno de los números tiene que ser cero. Esto significa que

x - 3 = 0 o x + 4 = 0.

Resolviendo éstas tendremos x = 3 y x = -4. Por tanto, las raíces de la ecuación

original son 3 y —4, y el conjunto solución es (3, -4).

Resolver 6w2 = 5w.

Escribimos la ecuación como

6w2 - 5w = 0

de modo que un miembro sea 0. Factorizando nos da

w(6w - 5) = 0.

Haciendo cada factor igual a cero, tenemos

w=0 o 6w—5=0,

6w = 5.

Por tanto, las raíces son w= 0 y w = 5/6

1.2 Fórmula cuadrática y graficar

Si [pic 5], a≠0

Entonces [pic 6]

Los valores de [pic 7] y [pic 8] son las raíces de la ecuación cuadrática. También son las abscisas al origen de la parábola [pic 9] , siempre y cuando sean números reales.

Esta fórmula permite al lector resolver cualquier ecuación cuadrática en términos de las constantes que se usen.

USO DEL DISCRIMINANTE CUANDO a, b Y c SON NÚMEROS REALES

1. Si b2 — 4ac > O, entonces ax2 + bx + c = O tiene dos soluciones reales, y la gráfica de y = ax2 + bx + c cruza el eje x en dos puntos. Si a, b y c son números racionales y el discriminante es un cuadrado perfecto, estas raíces serán números racionales; de lo contrario, serán irracionales.

2. Si b2 — 4ac = O, la solución ax2 + bx + c = 0 sólo es un número real (una raíz doble), y la gráfica y == ax2 + bx + c toca el eje x en un punto.

3. Si b2 — 4ac 0, ax2 + bx + c = 0 no tiene soluciones reales, y la gráfica de y = ax2 + bx + c no cruza al eje x. (Las raíces son dos números complejos.)

Ejemplo 1.

Graficar una función de segundo grado

Para graficar una función cuadrática se debe tener por lo menos tres puntos, "las raíces" y el vértice.

Grafiquemos f(x) = x2 + 5x - 6

La ordenada al origen es - 6, por lo tanto sabemos que el punto (0, - 6) pertenece a la función.

Hallemos el vértice de la parábola:

[pic 10]

Ahora las raíces:

[pic 11]

Con estos tres puntos podemos trazar la parábola:

[pic 12]

Ejemplo 2.

En los siguientes ejercicios usted debe encontrar los vértices de la parábola

Encontrar las raíces de [pic 13]

a=2 b=-5 c=1

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16] [pic 17]

Las raíces [pic 18] y [pic 19] son el resultado

Para realizar el grafico realice los siguientes procedimientos:

1.- Igualar la ecuación [pic 20] a f(x) ò a y.

[pic 21] Ò f(x)= [pic 22]

2.- Podemos encontrar algunos valores que satisfagan la ecuación [pic 23] , haciendo la siguiente tabla en la que damos valores a x y obtenemos los correspondientes de y.

x y

0 1

1 -2

-1 8

2 -1

-2 19

Dibujamos estos puntos y observamos que los podemos unir mediante una curva.

[pic 24]

Ejemplo 3

Encontrar las raíces de [pic 25]

a=1 b=0 c=-1

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28] [pic 29]

Las raíces [pic 30] y [pic 31] son el resultado

Para realizar el grafico realice los siguientes procedimientos:

1.- Igualar la ecuación [pic 32] a f(x) ò a y.

[pic 33] Ò f(x)= [pic 34]

2.- Podemos encontrar algunos valores que satisfagan la ecuación [pic 35] , haciendo la siguiente tabla en la que damos valores a x y obtenemos los correspondientes de y.

x y

0 -1

1 0

-1 0

2 3