La Física estudia los fenómenos que se producen debido a las interacciones que se dan entre sistemas que se encuentran situados en un lugar del espacio en cada instante

...

- Posición y tiempo: radio vector posición. Módulo y argumento.

El trío (x, y, z) compone el radio vector posición: r.

(Recuerde que el vector es un conjunto de escalares ordenados).

Falta la componente tiempo, y en muchos casos se puede incluir sin necesidad de que el vector tenga cuatro componentes.

Esto será posible si cada componente espacial depende del tiempo según alguna regla conocida.

El hecho de que cada componente pueda variar con el tiempo lo indicaremos escribiendo r(t), que significa “r depende de t” o “r es función de t”:

r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k = [ x(t), y(t), z(t)]

(Aunque no pongamos i, j, k, como el trio está ordenado sabemos cuál es cada componente).

Vemos que la componente tiempo va así incluida en cada una de las componentes espaciales.

El vector tiene una longitud: módulo.

Se calcula mediante [pic 2]

Forma un ángulo (argumento) con cada eje cartesiano: α, β, γ.

Por tanto

r(t) =[ x(t), y(t), z(t) ] = x(t) i + y(t) j + z(t) k

=[r cos α, r cos β, r cos γ] = (r cos α) i + (r cos β) j + (r cos γ) k

= r α, β, γ

Hemos escrito lo mismo de varias maneras diferentes.

Cuando se especifican las coordenadas x, y, z se está expresando la posición en “coordenadas cartesianas”.

Cuando se indican el módulo y el ángulo, se llama forma polar.

Son formas diferentes, pero significan lo mismo.

La última expresión, r α, β, γ , es solo una forma abreviada, y hay que interpretar que lo que quiere decir es....

(r cos α) i + (r cos β) j + (r cos γ) k).

[pic 3]

Ejemplo:

r(t = 3) = 3827,108º,84º

El objeto se encuentra a 38 unidades (metros por ejemplo) del origen, y forma con los tres ejes de coordenadas los ángulos indicados en el instante t = 3 (por ejemplo a los tres segundos).

Con esta información podemos determinar su posición.

¿Cuáles son sus coordenadas cartesianas?

x = 38 cos 27º = 33.6

y = 38 cos (108º) = -11.7

z = 38 cos 84 = 4.0

Se encuentra en la posición ( 33.6 , -11.7, 4 )

¿Qué significa r ( t = 2 ) = [ 25, 54, -3]?

¿A qué distancia del origen se encuentra?

¿Qué ángulos forma su vector posición con los ejes de coordenadas?

- Vector desplazamiento.

Si en dos instantes diferentes la posición ha cambiado, el sistema se ha desplazado.

¿De dónde a dónde? Para saberlo podemos construir el vector desplazamiento.

El vector es en este caso un trío ordenado (no necesitamos el tiempo, que sería la cuarta componente) que representa los cambios de posición.

[pic 4]

El símbolo Δ indica un cambio en la magnitud. Se puede leer como “incremento”, aunque puede significar tanto un aumento como una disminución.

El incremento de un vector se puede expresar descompuesto en los incrementos de sus tres componentes.

Ejercicio 1

Un vehículo se encuentran en la posición (-5,1) y se debe desplazar hasta la (2,3). ¿Cuánto va a cambiar su posición? ¿A qué distancia se encuentran su nueva posición? ¿Qué espacio debe recorrer para llegar allí?

Sólo necesitamos un sistema de coordenadas de dos dimensiones, y situamos en él los dos puntos.[pic 5]

Fíjese que la línea discontinua horizontal tiene una longitud de 7 unidades. Es la diferencia entre las posiciones en el eje OX, entre -5 y +2. La vertical son dos unidades, la diferencia entre las posiciones 1 y 3.

Esto significa que para pasar de A a B hay que añadir 7 unidades en la componente x, y 2 unidades en la componente y.

Una forma práctica de calcularlo sería restar a la posición final la posición inicial:

(2, 3) – (-5, 1) = (7, 2) = 7 i + 2 j

Su posición ha cambiado en [pic 6]

No hemos necesitado la tercera componente porque todo se ha desarrollado en el plano XY.

[En cambio, si se quisiera pasar de B a A, todo es al revés. Lo calculamos haciendo:

(-5, 1) – (2, 3) = (-7, -2)

lo que significa que para pasar de B a A hay que retroceder 7 unidades en el eje OX y 2 unidades en el eje OY].

La distancia entre ambos puntos la podemos calcular mediante el teorema de Pitágoras:

distancia AB = √(72 + 22) = √[(-7)2 + (-2)2] = distancia BA ≈ 7.28 m, así que para llegar allí deberá recorrer, ¡como mínimo!, 7.28 m.

---------------------------------------------------------------

Ejercicio 2

En el ejercicio anterior ¿qué dirección debe tomar el vehículo para que se desplace siguiendo una línea recta?[pic 7]

Con respecto a la dirección que indique el camino a seguir para ir desde A hasta B, habrá que decirle que haga (7, 2). Pero si hace primero 7 unidades