Laplace Fourier
Enviado por Eric • 23 de Mayo de 2018 • 2.093 Palabras (9 Páginas) • 319 Visitas
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[pic 42]
Definición de la transformada de Fourier
Las señales no periódicas también pueden ponerse como combinación lineal de exponenciales complejas. Por ejemplo, consideremos un pulso rectangular, [pic 43]. Con la separación entre pulsos, [pic 44] ,es decir, con [pic 45] .
En el límite, el sumatorio se transforma en integral, sumando un continuo de frecuencias. Por tanto, para señales no periódicas:
[pic 46]
Calculo de [pic 47]
Para ver el valor de [pic 48], procederemos análogamente a lo que hemos visto con las series, buscando el producto escalar con una exponencial compleja de una frecuencia determinada,[pic 49]. Ahora, al ser señales no periódicas, definidas en [pic 50], el producto escalar se define como
[pic 51]
El producto escalar de x(t) por una exponencial compleja es:
[pic 52]
Por linealidad de las integrales, si éstas convergen podemos cambiar el orden la integración:
[pic 53]
Análogamente a lo que ocurría antes con las series, la integral interna se anula salvo que [pic 54], en cuyo caso la integral tiende a infinito.
Por tanto, sustituyendo [pic 55] en la expresión anterior,
[pic 56]
Por tanto puede calcularse median el producto escalar de y una de frecuencia f:
[pic 57]
Propiedades de la transformada de Fourier
Linealidad
La transformada de Fourier es un operador lineal.
[pic 58]
[pic 59]
Dualidad
[pic 60]
Cambio de escala
[pic 61]
Transformada de la conjugada
[pic 62]
Traslación en el tiempo
[pic 63]
[pic 64]
Traslación en la frecuencia
Análogamente
[pic 65]
Derivación en tiempo
[pic 66]
Derivación en la frecuencia
Análogamente
[pic 67]
Transformada de la Convolución
Debido a que va a ser necesario utilizarlo, definamos primeramente la convolución de dos señales:
[pic 68]
Demostración de conmutatividad:
[pic 69]
Para la transformada de la convolución:
[pic 70]
Teorema de Parzeval
El teorema de Parseval es una solución partículas de la propiedad:
[pic 71]
Pares de transformadas de Fourier para algunas funciones del tiempo simple
- Funcion pulso rectangular
La expresamos como: [pic 72]
Simplemente calcularemos la transformacion de founer de un pulso rectangular:
[pic 73]
Que se puede simplificar así:
[pic 74]
- Función escalón unitario[pic 75]
La representamos de esta forma:
Sabemos que es un función no periódica por lo tanto usamos la definición de la transformada de Fourier
[pic 76]
Y evaluamos en los tiempos de cada límite dado al principio.
Significado físico de la funcion del sistema
Dada una red lineal general de dos puertos N sin ningún almacenamiento de energía inicial, se suponen funciones con forzamiento y respuesta senoidales, dadas arbitrariamente como tensiones. Se deja que la tención de entrada sea solo [pic 77], y la salida puede describirse en términos generales como [pic 78], donde la amplitud de B y el Angulo de fase son funciones de wx.
[pic 79]
Considerando al integrando en la ecuación anterior como f(t) multiplicada por si misma, se sustituye una de esas funciones mediante la ecuación anterior.
[pic 80]
Puesto que no hay nada especial acerca del subíndice x se concluye que la función del sistema y la función de transferencia son idénticas.
[pic 81]
La función del sistema y la respuesta en el dominio de la frecuencia
El análisis en el dominio de la frecuencia es una herramienta clásica en la teoría de control, si bien en general los sistemas que varían con una periodicidad definida no suelen ser los más comunes en la ingeniería de procesos. En la actualidad, con el desarrollo de herramientas computacionales la simulación en el dominio del tiempo es mucho más sencilla y en consecuencia este tipo de análisis ha perdido algo de importancia práctica. No obstante sigue teniendo un valor conceptual y una sencillez en la comprensión intuitiva muy importantes. Veremos entonces algunos elementos muy primarios, como para tener un primera aproximación.
Sea G(s) la función de transferencia de un sistema lineal al que se le aplica una señal de entrada que varía sinusoidalmente
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