Transformada de Laplace. Algunas de las ventajas

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Ejemplo 2. Calcular la transformada de Laplace de la función f(t), definida como

1. [pic 17]

2. g(t) = [pic 18]

3. [pic 19]

1. L {f(t)} = [pic 20]

F(s) = [pic 21]

2. L {g(t)} = [pic 22] = G(s)

En la primera integral se aplicará integración por partes

G(s) = [pic 23] si s > 0

G(s) = [pic 24]

Ahora se tratarán con cierto detalle algunos elementos sobre la existencia de la Transformada.

Como se sabe, una integral impropia de la forma:

[pic 25]

se dice que converge, si el límite de la derecha existe. La integral converge absolutamente si

[pic 26]

La diferencia entre la convergencia y la convergencia absoluta de la integral, es que en el integrando se considera el valor absoluto de la función, lo que geométricamente representa una gráfica con valores no negativos. Desde luego, si

[pic 27] entonces [pic 28]

Orden exponencial

Se dice que una función f es de orden exponencial si existen números c, M>0 y T>0 tales que ⏐f(t)⏐≤ Mect para t > T

Geométricamente la condición anterior establece que la gráfica de la función ⏐f(t)⏐ debe estar por debajo de la gráfica de una función exponencial por lo menos a partir de

t > T.

Ejemplo 3. Se puede verificar que cada una de las siguientes funciones son de orden exponencial.

Si f(t) = 1, entonces algunos valores para M, c y T son: M = 1, c = 0 y para cualquier valor de T , ya que ⏐f(t)⏐≤ 1 para toda t > T ≥ 0.

Si g(t) = sen(t), entonces para los valores de M =2 o M = 1, c = 0 y para cualquier valor de T ≥ 0 , ya que ⏐sen(t)⏐≤ 1 o ⏐sen(t)⏐≤ 2 para toda t > T ≥ 0, como se muestra en la gráfica siguiente

[pic 29]

Si h(t) = eat, entonces ⏐eat⏐≤ Mect si se hace M = 1, c = a y T puede tener un valor arbitrario. En este caso la gráfica de las exponenciales coincide.

Si f(t) = t, entonces ⏐t⏐≤ Mect si, por ejemplo, se toman los valores de M = 1, c = ½ y

T = 0, entonces ⏐t⏐≤ et /2 si t > 0; es decir la gráfica de la función t está por debajo de la exponencial como se muestra en la siguiente gráfica

[pic 30]

Note que los valores de M, c y T no son únicos.

Teorema. Supóngase que:

a) f(t) es seccionalmente continua en el intervalo 0 ≤ t ≤ A para cualquier A positiva,

b) ⏐f(t)⏐≤ Mect para t > T. En esta desigualdad M, c y T son constantes reales; M y T necesariamente positivas

Entonces, la transformada de Laplace L {f(t)} = F(s), definida por

L {f(t)} = F(s) = [pic 31]

existe para Re(s) > c

Cada una de las funciones del ejemplo 3 son continuas en todos los reales y además son de orden exponencial. El teorema establece que esas dos características son condiciones suficientes para garantizar la existencia de su transformada de Laplace, tal como se demostró en el ejemplo 1.

Note que la existencia se asegura cuando Re(s) > c.

A partir del ejemplo 3, se observa que los valores de c para las funciones f(t), g(t) y h(t) son respectivamente 0, 0 y a, que son justamente las condiciones a las que se llegaron en el ejemplo 1, al calcular sus respectivas transformadas.

Demostración

[pic 32]= [pic 33] (2)

La primera integral existe por la hipótesis (a) del teorema; la existencia de F(s) depende de la convergencia de la segunda integral. Enseguida se demostrará que esta integral converge absolutamente, lo que garantiza la convergencia de la integral.

Por la hipótesis (b)

⏐e-stf(t)⏐= ⏐e-σt(cosωt – i senωt)f(t) ⏐ = ⏐ e-σt f(t) ⏐≤ Me(c - σ) t (3)

donde σ = Re(s).

De las propiedades de la integral se tiene que

[pic 34]

Se demostrará la convergencia de la última integral y así quedará demostrado que la segunda integral de la expresión (2) converge.

[pic 35]

si c - σ σ > c

Con lo anterior queda demostrado el teorema.

Note que las condiciones enunciadas en el teorema son condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace; esto quiere decir que puede haber funciones que no las satisfagan y aún así existir su transformada de Laplace, como posteriormente se verá.

Con el objeto de obtener la transformada de Laplace de tn consideraremos la función gamma que se denota como Γ(t) y se define como:

[pic 36]

La gráfica de esta función para t > 0 es la que se muestra enseguida

[pic 37]

Demostraremos que la función gama tiene la siguiente propiedad:

Γ(t+1) = t Γ(t) (4)

Γ(t + 1) = [pic 38]

Veamos que si en la relación (4) se le dan valores enteros positivos a t, se obtiene el factorial del entero. Calculemos primero Γ(1)

Γ(1) =[pic 39]

Usando la