Técnicas de SOLUCIÓN A ECUACIONES INTEGRO-DIFERENCIALES con transformada de LAPLACE.

...

0.5 vR + 1 { 3 amp. + ∫t vL dt } + 0.7 d vC = 8 Cos ( 2t + 6 ) . 3 0 dt

0.5 vR + 1 { 3 amp } + 1 { ∫t vL dt } + 0.7 d vC = 8 Cos ( 2t + 6 ) . 3 3 0 dt

0.5 vR + 1 + 0.3333 { ∫t vL dt } + 0.7 d vC = 8 Cos ( 2t + 6 ) . 0 dt

Recordemos que se trata de un circuito en paralelo, por lo tanto: VR = VL = VC = V

0.5 v + 1 + 0.3333 ∫t v dt + 0.7 d v = 8 Cos ( 2t + 6 ) . 0 dt

Esta es la ecuación integro-diferencial que hace las veces del modelo del circuito, para el voltaje. Por que la única variable dependiente es el voltaje v.

- Aplicamos transformación de LAPLACE, a ambos lados de la ecuación integro-diferencial:

L { 0.5 v + 1 + 0.3333 ∫t v dt + 0.7 d v } = L { 8 Cos ( 2t + 6 ) } . 0 dt

Lo que sigue es aplicar todas las propiedades de la L que sean necesarias:

L { 0.5 v } + L { 1 } + L { 0.3333 ∫t v dt } + L { 0.7 d v } = L { 8 Cos ( 2t + 6 ) } . 0 dt

0.5 L { v } + L { 1 } + 0.3333 L { ∫t v dt } + 0.7 L { d v } = 8 L { Cos ( 2t + 6 ) } . 0 dt

0.5 V( s ) + 1 + 0.3333 V( s ) + 0.7 { s V( s ) - v( 0- ) } = 8 { s Cos(6) – 2 Sen (6) } . s s ( s2 + 22 )

0.5 V( s ) + 1 + 0.3333 V( s ) + 0.7 *s V( s ) - 0.7* v( 0- ) = 8{ s * 0.9602 – 2 * (- 0.2794) } . s s ( s2 + 4 )

- Se reemplazan las condiciones iniciales que aparezcan en la ecuación transformada:

0.5 V( s ) + 1 + 0.3333 V( s ) + 0.7 s V( s ) - 0.7* v( 0- ) = 8 { 0.9602 s + 0.5588 } . s s ( s2 + 4 )

0.5 V( s ) + 1 + 0.3333 V( s ) + 0.7 s V( s ) - 0.7* 1 = 7.6816 s + 4.4704 . s s ( s2 + 4 )

0.5 V( s ) + 1 + 0.3333 V( s ) + 0.7 s V( s ) - 0.7 = 7.6816 s + 4.4704 . s s ( s2 + 4 )

- Se despeja la variable de interés, en este caso la V(s):

0.5 V( s ) + 1 + 0.3333 V( s ) + 0.7 s V( s ) - 0.7 = 7.6816 s + 4.4704 . s s ( s2 + 4 )

{ 0.5 + 0.3333 + 0.7 s } * V( s ) + 1 - 0.7 = = 7.6816 s + 4.4704 . s s ( s2 + 4 )

{ 0.5 + 0.3333 + 0.7 s } * V( s ) = 7.6816 s + 4.4704 - 1 + 0.7 . s ( s2 + 4 ) s

Se requiere obtener el común denominador en ambos lados del igual:

{ 0.5 s + 0.3333 + ( 0.7 s ) s } * V( s ) = { 7.6816 s + 4.4704 } s - 1 ( s2 + 4 ) + 0.7 s ( s2 + 4 ) . s ( s2 + 4 ) s

Y se despeja la variable de interés:

V( s ) = { 7.6816 s2 + 4.4704 s - s2 - 4 + 0.7 s3 + 2.8 s } * . s . . ( s2 + 4 ) s * { 0.5 s + 0.3333 + 0.7 s2 }

V( s ) = { 7.6816 s2 + 4.4704 s - s2 - 4 + 0.7 s3 + 2.8 s } . . ( s2 + 4 ) * { 0.5 s + 0.3333 + 0.7 s2 }

V( s ) = { 6.6816 s2 + 7.2704 s - 4 + 0.7 s3 } . . ( s2 + 4 ) { 0.5 s + 0.3333 + 0.7 s2 }

- Se aplica la antitransformación de LAPLACE a ambos lados del igual, para pasar del dominio de la frecuencia compleja s al dominio del tiempo t:

L -1 [ V( s ) ] = L -1 [ { 6.6816 s2 + 7.2704 s - 4 + 0.7 s3 } . ] ; en MATLAB: . ( s2 + 4 ) { 0.5 s + 0.3333 + 0.7 s2 }

v ( t ) = 0.6120 Cos ( 2t ) + 5.9801 Sen (2t ) + 0.3880 e – 0.3571t Cos (5.9042 t ) – 5.0656 e – 0.3571t Sen (5.9042 t )

Esta es la solución completa para el voltaje del circuito, donde: v ( t ) = v c ( t ) + v p ( t )

v c ( t ) = 0.6120 Cos ( 2t ) + 5.9801 Sen (2t ) ; Respuesta Forzada, Particular o Permanente. Observe que tiene la

misma forma de la fuente.

v p ( t ) = 0.3880 e – 0.3571t Cos (5.9042 t ) – 5.0656 e – 0.3571t Sen (5.9042 t ) ; Respuesta Natural, complementaria o

Transitoria. Observe que corresponde al caso de Raíces Complejas y

Conjugadas.

EJEMPLO #2: CIRCUITO RLC PARALELO CON DOS FUENTES DE VOLTAJE.

Considere el siguiente circuito, donde: Vs1 = 1 Voltio, Vs2 = 1µ ( t ) Voltios, R = 2 Ω, L = 1 H, C = 0.2 F.

Con las siguientes condiciones iniciales: iL ( 0 - ) = 0 Amperios, en la bobina. vC ( 0 - ) = 1 Voltio, en el capacitor.

[pic 3]

- Encuentre la respuesta de corriente i = i ( t ) del circuito.

Observe que como se trata de una serie por lo tanto la corriente por todos los elementos es la misma:

iR = iL = iC = i = i ( t ).

- Encuentre la respuesta de voltaje vC ( t ) a través del Capacitor C.

SOLUCIÓN AL EJEMPLO #2:

Recordemos el algoritmo de solución de circuitos utilizando el método de Laplace y Heaviside:

[pic 4]

- Para encontrar la respuesta de corriente del circuito es necesario en primer lugar, encontrar el modelo del circuito. Para hacerlo utilizamos la ley de voltajes de KIRCHHOFF:

- Σ v = 0 ; malla

- vs1 + vL + vR - vs2 + vC = 0

vL + vR + vC = vs1 + vs2

L d iL + R iR + 1 ∫t iC dt = vs1 + vs2 . dt C -∞

L d iL + R iR + 1 ∫ t iC dt = vs1 + vs2 . dt C -∞

El siguiente paso sería aplicar la transformación de LAPLACE a ambos lados de la ecuación, pero debemos recordar que la L no está definida para los tiempos negativos o sea para los t t, debe partirse, y reemplazar el valor del voltaje del capacitor para los t negativos: v