Teoría de conjuntos difusos

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μ: A → [0, ∞]

Ser una función real no negativa definida en (subconjuntos de) A, que puede asumir el valor ∞.

Un conjunto B en A, denotado como un elemento de A por B ∈ A, se denomina conjunto nulo con respecto a μ si μ (B) = 0, donde

μ (B) = {μ (b) | B ∈ B}.

μ se dice que es aditivo si

[pic 5]

Para cualquier colección finita {A1, ..., An} de conjuntos en A satisfaciendo ambos [pic 6] y [pic 7]Se dice que es aditivo contabilizable si n = ∞ en el anterior. Además, se dice que μ es sustractiva si

[pic 8]

Juntos implican

μ (B - A) = μ (B) - μ (A).

Se puede verificar, sin embargo, que si μ es aditivo entonces también es sustractivo.

Ahora bien, μ se denomina medida en A si es contablemente aditivo y hay un conjunto no vacío C ∈A tal que μ (C) ∞.

Por ejemplo, si definimos una función μ por μ (A) = 0 para todo A ∈A, entonces μ es una medida en A, que se llama medida trivial. Como segundo ejemplo, supongamos que A contiene al menos un conjunto finito y define μ por μ (A) = el número de elementos que pertenecen a A. Entonces μ es una medida sobre A, que se llama medida natural.

Una medida μ en A tiene las siguientes dos propiedades simples: (i) μ (∅) = 0, y (ii) μ es finitamente aditivo.

Sea μ una medida en A. Entonces se dice que un conjunto A ∈ A tiene una medida finita si μ (A) ∞, y tiene una medida σ-finita si hay una secuencia {Ai} de conjuntos en A tal que

[pic 9]

μ es finito (resp., σ -finito) en A si cada conjunto en A tiene una medida finita (resp., σ -finita).

Una medida μ en A se dice completa si

[pic 10]

Conjuntamente implican μ (A) = 0. μ se dice que es monótona si

[pic 11]

Conjuntamente implican µ(A) ≤ µ(B).

µ se dice que es subadditivo si µ(A) ≤ µ(A1) + µ(A2).

Para cualquier A, A1, A2 ∈ A con A = A1 ∪ A2. µ se dice que es finamente subadditivo si [pic 12]

Para cualquier colección finita {A, A1, ..., An} de subconjuntos en A que satisfacen [pic 13] Y μ se dice que es contabilmente subadditivo si n = ∞ en el anterior.

Se puede demostrar que si μ es contabilmente subadditivo y μ (∅) = 0, entonces también es finitamente subadditivo.

Sea A ∈ A. Una medida μ en A se dice que es continua desde abajo en A si [pic 14]

Conjuntamente implican [pic 15]

Y se dice que μ es continua desde arriba en A si

[pic 16]

Conjuntamente implican [pic 17]

μ es continua desde abajo (resp. Arriba) en A si y sólo si es continua desde abajo (resp. Arriba) en cada conjunto A ∈ A, y μ se dice que es continua si es continua tanto desde abajo como hacia abajo Desde arriba (en A, o en A).

Sea A1 y A2 familias de subconjuntos de A tales que A1 ⊆ A2, y μ1 y μ2 sean medidas en A1 y A2, respectivamente. Μ2 se dice que es una extensión de μ1 si μ1 (A) = μ2 (A) para cada A ∈ A1.

Por ejemplo, sea [pic 18] Familia de todas las uniones finitas, disjuntas de intervalos acotados de la forma [c, d], y una medida μ1 se define en A1 por [pic 19]

Entonces μ1 es contablemente aditivo y por lo tanto es una medida finita en A1. Este μ1 se puede extender a una medida finita μ2 en A2 definiendo μ2 ([a, b]) = μ1 ([a, b]) para todos [a, b] ∈ A1.

De manera más general, si f es una función real, finita, no decreciente y continuamente continua de una variable real, entonces

μF (a, b)): = f (b) - f (a) para todos [a, b) ∈ A1,

Define una medida finita en A1, y puede extenderse para ser una medida finita μ2 en A2.

II. FUZZY SET TEORÍA

En la sección I.A, hemos definido la función característica XA de un conjunto A por

[pic 20]

Que es un indicador de miembros y no miembros del conjunto nítido A. En el caso de que un elemento tenga sólo una pertenencia parcial del conjunto, necesitamos generalizar esta función característica para describir el grado de pertenencia de este

Elemento en el conjunto: valores más grandes denotan grados más altos de la membresía.

Para dar más motivación a este concepto de pertenencia parcial, consideremos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.1. Sea S el conjunto de todos los seres humanos, usado como conjunto de universo, y deje

Sf = {s ∈ S | S es viejo}.

Entonces Sf es un "subconjunto borroso" de S porque la propiedad "vieja" no está bien definida y no se puede medir con precisión: dada una persona que tiene 40 años, no está claro si esta persona pertenece al conjunto Sf. Por lo tanto, para hacer el subconjunto Sf bien definido, tenemos que cuantificar el concepto "antiguo", para caracterizar el subconjunto Sf de una manera precisa y rigurosa.

Por el momento, digamos, desearíamos describir el concepto "viejo" por la curva mostrada en la Figura 1.1 (a) usando el sentido común, donde las únicas personas que se consideran "absolutamente viejas" son las 120 años Viejos o mayores, y las únicas personas que se consideran "absolutamente jóvenes" son los recién nacidos. Mientras tanto, todas las demás personas son viejas y jóvenes, dependiendo de sus edades reales. Por ejemplo, una persona de 40 años de edad se considera "vieja" con "grado 0.5" y al mismo tiempo también "joven" con "grado