Teoria de conjuntos. QUE ES UN CONJUNTO?

...

A - B = {x / x € A y x [pic 14] B}

A - B

[pic 15]

EJEMPLOS:

Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }

a) A - C b) B - C

- A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }

A - C = { a, b, c, e }

[pic 16]

-

B = { a, e } y C = { d, f, g }

B - C = { a, e }

DIFERENCIA SIMETRICA:

El conjunto diferencia simétrica de A y B está formado por los elementos del universo que pertenecen a uno y solamente uno de ellos, es decir, que pertenecen a A , o a B , pero no a ambos:

[pic 17]

[pic 18]

EJEMPLO:

Sean:

U = { p , r , s , t }

A = { p , s }

B = { r , s }

Entonces:

[pic 19]

[pic 20]

COMPLEMENTO DE CONJUNTOS:

Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:

A' = { x/x € U y x [pic 21] A }

[pic 22]

[pic 23]

EJEMPLOS:

Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e }

Su complemento de A es: A' = { m, a, r }

[pic 24]

operaciones con conjuntos

Teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas:números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.Álgebra de conjuntos

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a lasoperaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

- Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.

- Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

- Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

- Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

- Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

- Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

ejercicios resueltos

1.- Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}

Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B

Solución:

A U B = {1,2,3,4,6,8}

A U C = {1,2,3,4,5,6}

B U C = {2,4,6,3,5}

B U B = {2,4,6,8}

2.- Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia.

2A ={ {6},{2},{8},{4},{3},{6,2},{6,8},{6,4},{6,3},{2,8},{2,4},{2,3},{8,4},{8,3},{4,3},

{6,2,8},{6,2,4},{6,2,3},{6,8,4},{6,8,3},{6,4,3},{2,8,4},{2,8,3},{8,4,3},{6,2,8,4},{6,2,8,3},

{2,8,4,3,},{6,8,4,3,},{6,2,4,3,},{6,2,8,4,3},{ }