LENGUAJE SIMBÓLICO PARTE Nº2 : TEORÍA de CONJUNTOS

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i) {1, 3, 11} ii) {1, 4, 6, 7, 8, 9}

11.- Construya un diagrama de Venn- Euler que respete exacta y sólamente las restricciones exigidas en cada uno de los siguientes casos. Indique los casos que resulten con exigencias incompatibles.

a) C ⊆ ( A ∪ B ) ; A ∩ B ∩ C ≠ ∅ ; C − B ≠ ∅ ; C − A ≠ ∅.

b) A ⊆ B ; C ⊆ D ; A ∩ D = ∅ ; C ∩ B = ∅.

c) A ∩ B ∩ C = ∅ ; A ∩ B ≠ ∅ ; B ∩ C ≠ ∅ ; A ∩ C ≠ ∅.

d) A ⊆ B ; A ∩ B ∩ C ≠ ∅ ; C − B ≠ ∅.

12.- Determine por extensión los conjuntos A, B, C y U, si se sabe que:

a) ( A, B, C ⊆ U ) ∧ ( B ∩ C ) = ∅

b) ( C ∪ B )’ = { 3, 5, 9 }

c) { 3, 5 } ⊆ ( A − C )

d) ∀ x ∈(A ∩ C ) ⇒ x ∈{ 1, 2, 3 }

e) x ∈( B − A ) ⇔ ( x = 8 )

f) 4 ∈ A’, 7 ∈ A’ ∧ n( A’ ) = 4

g) n( B )

h) ( A ∩ B ) = { 1 }

Justifique con un diagrama.

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13.- Determine por extensión los conjuntos U (universal), A y B que, simultáneamente, satisfacen las siguientes condiciones:

i) [pic 9] y [pic 10] ii) Ac ∪ Bc = {1, 2, 3, 4, 7} iii) A ∪ B = {1, 3, 4, 6, 7, 8}

y, iv) A ∩ Bc = {1, 3}.

14.- Determine por extensión los conjuntos A y B que satisfacen las siguientes condiciones:

a) 7∈A y 7∈B; b) {1, 2, 3}∩ B = ∅; c) 4∈A ∩ B; d) A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};

e) B – A = {6}; f) A – B = {1, 2, 3, 5}.

15.- Usando álgebra de conjuntos, simplifique:

a) A’ − ( A’ − B’ )

b) [ A ∩ ( B’ − A )] ∪ [( B − A’ ) ∪ A]’

c) [( A’ − B ) ∪ ( A’ ∩ B ]

d) [A ∪ ( C − A )] ∩ [( C − A’ ) ∪ C]

e) [( B’ ∩ ( A − B )] ∪ ( A ∩ B]

16.- Usando el álgebra de conjuntos simplifique:

i) [Bc∪ (A – B)c] ∩B ii) [B – (A – B)] – [(B – A) ∪ (A∪B)c]

iii) [(A – Bc) ∪ (B – A)] – [A – (A – B)] iv) [(A – Bc)c – (Ac ∩ B)]∩ A

v) [A ∩ [(A ∪ B)c ∪ (Bc ∪ A)c]] vi) [Bc ∪ [(A ∪ Bc)c ∪ A]c]

vii) Ac∩[(A – B) ∩ (A ∩ Bc)]c viii) [A – (B – Ac)]c ∩ Ac

ix) [Ac – (Ac – Bc)] ∩ {[(A – C) ∪ B] – A}

17.- Si A, B y C son conjuntos de un universo U tales que A ∩ B = ∅, C ⊆ Bc y A ∩ C ≠ ∅, simplifique al máximo [(A∪Bc)c – C] – (Bc – C).

18.- Usando álgebra de conjuntos, demuestre que :

a) ( A ∩ B ) − ( A ∩ C ) = A ∩ ( B − C )

b) [ A − ( B ∩ A’ ) ] ∩ [( B − A ) ∩ A ]’ = A

c) [ ( A’ − B )’ ∩ B ] = B

19.- Demuestre que ∀ S, T ⊆ U : ( S ⊆ T ) ⇒ [ T − ( T − S ) = S ]

20.- Demuestre que:

a) Si Ac ∩ Cc = Bc ∩ Cc, entonces [B – (A ∩ Cc)]c – (Bc ∩ C) = Cc.

b) Si A ∪ C = B, entonces (B – A) – [(Ac – B) ∪ C] = ∅.

c) Si Bc ∩ Ac = ∅, entonces [(A ∪ C) – (B – C)] – (A – C) = C.

d) Si A ∪ C = U, entonces [A – (A ∩ B)c]c – (B ∩ C) = Bc.

21.- Demuestre que para conjuntos A, B, C cualesquiera,

a) A – (B – C) = (A – B) ∪ (A ∩ C)

b) [Ac ∩ (A ∪ B)] – [Ac ∩ (A ∪ B)] = ∅

c) {B ∩ [(A ∪ B)c ∪ (B ∪ Ac)c]}c = U

d) [(Ac ∪ B) – (A ∪ B)c] ∪ Bc = U

e) (B ∩ C) – [(A ∩ B) ∪ (C ∪ A)] = ∅

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II.- CARDINALIDAD y ENCUESTAS:

1.- Determine la cardinalidad de los conjuntos A, B, C ⊆ U, considerando la siguiente información :

n ( U ) = 30 n ( A ∪ B ∪ C )’ = 5 n ( A ∪ B ) = 23 n ( A ∩ C ) = 4

n ( B ∩ C ) = 8 n ( A ∩ B ∩ C ) = 3 n ( A ∩ B ) = 11 n ( A − C ) = 12.

2.- En un curso hay 45 alumnos de la carrera A y 51 de la carrera B que no estudian la carrera A. Se sabe, además, que hay 12 alumnos que no estudian en estas carreras.

i) ¿ Cuántos alumnos hay en el curso ?

ii) Si 7 alumnos estudian ambas carreras, ¿ cuántos estudian en la carrera B ?

3.- En un Universo de 34 elementos, se tiene tres conjuntos A, B y C tales que C ⊆ B; nC = 8; nB = 22; n(A ∪ C) = 24 ; n(A ∩ B) = 10 ; n(A ∩ C) = 6.

¿Cuántos elementos se encuentran sólo en A?

4.- Si se sabe que[pic 11], determine:

a) nB b) n(A – B) c) n(B – A) d) [pic 12]

5.- Sabiendo que C ⊆ (A ∪ B), nA = 20, nC = 11, n(C – B) = 4, n(C – A) = 2, n(A∩B) = 12, n(A ∪ B ∪ C)c = 8, n[B – (A ∪ C)] = 5.

a)