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Complemento a la Teoria de Conjuntos

Enviado por   •  25 de Enero de 2018  •  772 Palabras (4 Páginas)  •  427 Visitas

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...

Más generalmente, utilizamos un conjunto I cuyos elementos i,j,k,..., (no necesariamente números) sirven como índices para designar los elementos de una colección {Ai,Aj,Ak,...}. La familia {Ai,Aj,Ak,...} es llamada una familia de conjuntos con índices, I es llamado su conjunto de índices y los elementos de I son llamados índices. Una notación compacta para designar la familia {Ai,Aj,Ak,...} es:

{Ai}i∈I

Ejemplo:

- Sea[pic 13], donde [pic 14]

Entonces,

[pic 15]

- Sea[pic 16], donde [pic 17]

Entonces,

[pic 18]

Obsérvese que puede suceder que [pic 19], con [pic 20].

- Sea [pic 21], donde [pic 22]

Entonces,

[pic 23]

- Sea [pic 24]el conjunto de palabras en español.

Si definimos [pic 25], entonces,

[pic 26]

Obsérvese que los elementos del conjunto de índices, en este caso, no son números.

- Sea [pic 27]

Entonces,

[pic 28]

Nótese que en la sección anterior las operaciones de intersección y unión de conjuntos fueron generalizadas para la familia con índices, {A1,A2,...,An} con conjuntos de índices I={1,2,...,n}. Ahora extendemos estas definiciones a cualquier familia de conjuntos con índices {Ai}i∈I

Definición: 1.5.4.1. Sea {Ai}i∈I una familia de conjuntos con índices. La unión de la familia {Ai}i∈I consiste en aquellos elementos que pertenecen al menos a uno de los Ai de la familia. En símbolos,

[pic 29]

Por lo tanto,

[pic 30]

En consecuencia:

[pic 31]

Ejemplo:

- Sea [pic 32], donde [pic 33].

Entonces,

[pic 34]

- Sea [pic 35], donde [pic 36].

Entonces,

[pic 37]

- Sea [pic 38], donde [pic 39].

Entonces,

[pic 40]

- Sea [pic 41], donde [pic 42].

Entonces,

[pic 43]

- Sea [pic 44]el conjunto de palabras en español.

Si definimos,[pic 45]

Entonces,

[pic 46]

- Sean [pic 47]para [pic 48].

Entonces,

[pic 49]

Ahora definimos la intersección generalizada para una familia con índices:

Definición: 1.5.4.2. Sea {Ai}i∈I una familia de conjuntos con índices. La intersección de la familia {Ai}i∈I consiste en aquellos elementos que pertenecen a todos los Ai de la familia. En símbolos,

[pic 50]

Por lo tanto

[pic 51]

En consecuencia:

[pic 52].

Ejemplo:

- Sea [pic 53], donde [pic 54].

Entonces,

[pic 55]

- Sea [pic 56], donde [pic 57].

Entonces,

[pic 58]

- Sea [pic 59], donde [pic 60].

Entonces,

[pic 61]

- Sea [pic 62], donde [pic 63].

Entonces,

[pic 64]

- Sea [pic 65]el conjunto de palabras en español.

Si definimos, [pic 66].

Entonces,

[pic 67]

- Sean [pic 68]para [pic 69].

...

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