Complemento a la Teoria de Conjuntos
Enviado por Jillian • 25 de Enero de 2018 • 772 Palabras (4 Páginas) • 364 Visitas
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Más generalmente, utilizamos un conjunto I cuyos elementos i,j,k,..., (no necesariamente números) sirven como índices para designar los elementos de una colección {Ai,Aj,Ak,...}. La familia {Ai,Aj,Ak,...} es llamada una familia de conjuntos con índices, I es llamado su conjunto de índices y los elementos de I son llamados índices. Una notación compacta para designar la familia {Ai,Aj,Ak,...} es:
{Ai}i∈I
Ejemplo:
- Sea[pic 13], donde [pic 14]
Entonces,
[pic 15]
- Sea[pic 16], donde [pic 17]
Entonces,
[pic 18]
Obsérvese que puede suceder que [pic 19], con [pic 20].
- Sea [pic 21], donde [pic 22]
Entonces,
[pic 23]
- Sea [pic 24]el conjunto de palabras en español.
Si definimos [pic 25], entonces,
[pic 26]
Obsérvese que los elementos del conjunto de índices, en este caso, no son números.
- Sea [pic 27]
Entonces,
[pic 28]
Nótese que en la sección anterior las operaciones de intersección y unión de conjuntos fueron generalizadas para la familia con índices, {A1,A2,...,An} con conjuntos de índices I={1,2,...,n}. Ahora extendemos estas definiciones a cualquier familia de conjuntos con índices {Ai}i∈I
Definición: 1.5.4.1. Sea {Ai}i∈I una familia de conjuntos con índices. La unión de la familia {Ai}i∈I consiste en aquellos elementos que pertenecen al menos a uno de los Ai de la familia. En símbolos,
[pic 29]
Por lo tanto,
[pic 30]
En consecuencia:
[pic 31]
Ejemplo:
- Sea [pic 32], donde [pic 33].
Entonces,
[pic 34]
- Sea [pic 35], donde [pic 36].
Entonces,
[pic 37]
- Sea [pic 38], donde [pic 39].
Entonces,
[pic 40]
- Sea [pic 41], donde [pic 42].
Entonces,
[pic 43]
- Sea [pic 44]el conjunto de palabras en español.
Si definimos,[pic 45]
Entonces,
[pic 46]
- Sean [pic 47]para [pic 48].
Entonces,
[pic 49]
Ahora definimos la intersección generalizada para una familia con índices:
Definición: 1.5.4.2. Sea {Ai}i∈I una familia de conjuntos con índices. La intersección de la familia {Ai}i∈I consiste en aquellos elementos que pertenecen a todos los Ai de la familia. En símbolos,
[pic 50]
Por lo tanto
[pic 51]
En consecuencia:
[pic 52].
Ejemplo:
- Sea [pic 53], donde [pic 54].
Entonces,
[pic 55]
- Sea [pic 56], donde [pic 57].
Entonces,
[pic 58]
- Sea [pic 59], donde [pic 60].
Entonces,
[pic 61]
- Sea [pic 62], donde [pic 63].
Entonces,
[pic 64]
- Sea [pic 65]el conjunto de palabras en español.
Si definimos, [pic 66].
Entonces,
[pic 67]
- Sean [pic 68]para [pic 69].
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