La teoría de los conjuntos es hoy día, básica en el estudio de casi todas las ramas de las matemáticas: teoría de probabilidades, análisis matemático, circuitos eléctricos, lógica matemática, etc.

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Por comprensión: [pic 8]

Ejemplo 6

Sea N el conjunto de los números reales 1/3, 0, 2 y 10/4.

Por extensión: N = { 0, 1/3, 2, 10/4 }

Por comprensión: No se puede definir al conjunto de esta manera, ya que no existe una característica matemática que los distinga completamente a todos.

Existen algunos conjuntos que, por sus características reciben un nombre propio. Estos son el conjunto vacío y el conjunto universal.

DEFINICIÓN:

Se llama conjunto universal o conjunto universo al conjunto que contiene como elementos a todos los objetos bajo consideración, y se acostumbra denotarlo por U.

DEFINICIÓN:

Se llama conjunto vacío al conjunto que no posee ningún elemento. Se acostumbra denotar a este conjunto como ∅, {∅}, o bien { }.

Es común y de gran utilidad identificar relaciones o establecer vínculos entre conjuntos. Estas relaciones o vínculos se conocen como operaciones entre conjuntos. Algunas de ellas, así como las principales propiedades que poseen, se mencionan a continuación.

DEFINICIÓN:

Sean A y B dos conjuntos definidos dentro del conjunto universal U. La intersección entre A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen, tanto a A como a B, y se denota como A ∩ B. Esto es,

[pic 9]{ x ∈ U ⏐ x ∈ A y x ∈ B }

Ejemplo 7

Considere el conjunto A de todas las personas asegurables y el conjunto B de todas las personas mayores de 18 años.

A = { x ⏐x tiene 12 años o más }

B = { x ⏐x tiene 18 años o más }

Entonces,

A ∩ B = { x ⏐x tiene 18 años o más }

DEFINICIÓN:

Sean A y B dos conjuntos definidos dentro del conjunto universo U. La unión de A y B es el conjunto de todos los elementos de U que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A o B. Se acostumbra denotar a la unión de A y B como A ∪ B. Es decir,

A ∪ B = { x ∈ U ⏐ x ∈ A o x ∈ B o ambos }

Ejemplo 8

Sean los siguientes conjuntos:

A = { x ∈ ℵ ⏐ x ≤ 5 } ; B = { 2, 3, 4, 6, 7, 10 }

Entonces,

A ∪ B 0 { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10 }

Nótese que 2, 3 y 4 son elementos tanto de A como de B, esto es, 2, 3 y 4 son elementos, tanto de A ∪ B como de A ∩ B.

DEFINICIÓN:

Si A es un conjunto definido dentro del conjunto universal U, se define el complemento de A (con respecto a U) como el conjunto de todos los elementos de U que no pertenecen a A, y se denota como Ac , o bien, como A'. Esto es,

Ac = A' = { x ∈ U ⏐ x ∉ A }

Ejemplo 9

Considere el conjunto universal U = ℜ y sea A = ℜ+ entonces Ac = ℜ−

En muchas ocasiones la visualización gráfica del objeto que se define o se describe facilita la comprensión. El caso de los conjuntos no es la excepción. En muchas ocasiones la representación gráfica de los conjuntos permite identificar con claridad aquellos elementos que nos interesan. La forma gráfica más generalizada para representar a los conjuntos son los diagramas de Venn o de Venn-Euler, los cuales deben su nombre a los matemáticos que desarrollaron este tipo de gráficos.

En un diagrama de Venn- Euler se representa al conjunto Universal mediante un rectángulo dentro del cual se acostumbra indicar ya sea por extensión o por comprensión, a los elementos de dicho conjunto. Aquellos elementos que satisfacen la condición que define al conjunto A se agrupan dentro de una curva cerrada. Todos los elementos que quedan fuera de dicha curva pertenecen a Ac .

Ejemplo 10

Sean los conjuntos: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } y A = { 2, 4, 6, 8, 10 }. La representación en diagramas de Venn-Euler, de este conjunto es la siguiente:

[pic 10]

A continuación se muestra la representación gráfica de las diferentes operaciones y relaciones entre conjuntos.

Representación en Diagramas de Venn-Euler de: (a) la unión de dos conjuntos, (b) la intersección de dos conjuntos, y (c) el complemento de un conjunto.

[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

[pic 15]

[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

(a) A ∪ B (b) A ∩ B

[pic 23]

[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

(c) Ac

DEFINICIÓN:

Sean A y B dos conjuntos. Se dice que A es subconjunto de B, si todo elemento de A es también elemento de B. Este hecho se denota como A ⊂ B.

Note que no se dice A ∈ B, sino A ⊂ B.

Ejemplo 11

Considere los siguientes conjuntos:

A = { todas las personas casadas }

B = { todos los hombres casados }

Entonces, B ⊂ A.

DEFINICIÓN:

Sean A y B dos conjuntos. Se dice que A y B son iguales sí y sólo sí coinciden en todos sus elementos. Esto es, A = B ⇔ A ⊂ B y también B ⊂ A.

DEFINICIÓN:

Sean los conjuntos: A y B. Se dice que A y B son mutuamente excluyentes, si y sólo