TEORIA DE LOS CONJUNTOS, DIAGRAMA DE VEN

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Ac= {1,2,5,8,9,10}

4.- Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos A y B, es un conjunto cuyos elementos son aquellos que están en el conjunto A, pero no en el conjunto B.

Notación: A - B ={x / x ∈A ∧ x ∉ B}

Gráficamente:

[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

[pic 44][pic 45][pic 46]

[pic 47]

Ejemplo:

C = {u, v, x, y, z} D = {s, t, z, v, p, q}

C - D = {x, y, u}

5.- Diferencia Simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos son aquellos que están en A, pero no en B, unidos con aquellos que están en B, pero no en A.

Notación: A Δ B= {x / x ∈ A ∧ x ∉ Β} ∪ {x / x ∉Α ∧ x ∈Β}

A Δ B= ( A - B ) ∪ ( B -A )

Gráficamente:

[pic 48][pic 49][pic 50]

[pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

Ejemplo:

A= {1,3,4,5,6,7,20,30} B={2,6,20,40,50}

AΔB= {1,3,4,5,7,30} ∪{2,40,50}

AΔΒ= {1,2,3,4,5,7,30,40,50}

6.-Producto cartesiano: El producto cartesiano entre dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados que tienen como primera componente un elemento de A y como segundo componente un elemento de B.

Notación: A x B = {(a, b ) / a ∈Α ∧ b ∈ Β}

Ejemplo:

A= {1,2} B={3,4,5}

A x B = {(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)}

Observaciones:

1.- n(Α) = n ∧ n(Β) = s ⇒ n(A x B) = n • s

2.-Si A = φ Β = φ ⇔ Αx B = φ

3.- A x B ≠ Βx A siempre que se cumpla que A ≠ Β

7.- Cardinalidad:

n(A∪Β) = n(A) + n(B) – n (A∩Β)

n(A∪(Β∪C)) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩Β) - n(Α∩C) – n(B∩C) + n(A∩(Β∩C))

LEYES DE ALGEBRA DE CONJUNTO

1.- Asociatividad:

(Α∪Β)∪C = Α∪(Β∪C)

(A∩Β)∩C = A∩(Β∩C)

2.- Conmutatividad:

Α∪Β = Β∪Α

A∩B = B∩A

3.- Distributividad:

A∪(Β∩C) = (Α∪Β)∩(Α∪C)

A∩(Β∪C) = (Α∩Β)∪(Α∩C)

4.- Absorción:

A∪(Α∩Β) = Α

A∩(Α∪Β) = A

5.- Idempotencia:

A∪Α = Α

B∩Β = Β

6.- Identidad:

Α∪φ = Α Α∩U = A

A∪U = U A∩φ = φ

7.-Complemento:

A∪Αc = U A∩Αc = φ

(Ac)c = A U’= φ, φ’ = U

8.- Ley de Morgan:

(A∪B)c = Ac∩Βc (A∩Β)c = Ac∪Βc

A – B = A∩Βc

EJERCICIOS RESUELTOS

Demuestre:

1.-(Α - B) ∩ Β = φ

(A ∩ Bc) ∩ B = φ

A∩(Bc ∩ B) = φ

Α ∩ φ = φ

φ = φ

2.- (A – B) ∩ (Α - C) = A – (B ∪ C)

(A ∩ Βc) ∩ (Α ∩ Cc) = A – (B ∪ C)

A ∩ (Bc ∩ Α ) ∩ Cc = A – (B ∪ C)

(A ∩ Α) ∩(Βc ∩ Cc) = A – (B ∪ C)

A ∩ (Β ∪ C)c = A – (B ∪ C)

A – (B ∪ C) = A – (B ∪ C)

3.- n[A ∪ ( B ∪ C ) ] = n(Α) + n(Β) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n[A∩(Β∩C)]

n[A ∪ ( B ∪C )] = n(A) + n(B∪C) - n[A∩(B∪C)]

= n(A) + n(B) + n(C) - n(B∩C) - n[(A∩B)∪(A∩C)]

= n(A) + n(B) + n(C) - n(B ∩ C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) + [ n(A ∩ B) ∩ (A∩C)]

= n(Α) + n(Β) + n(C) - n(A ∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n[A∩(Β∩C)]

4.- (A ∪ A) ∩ (A ∪ Bc) = A

A ∩ (A ∪ Bc ) = A

A = A

A = A

5.- (B ∩ C) ∪ A = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A)

A ∪ (B ∩ C) = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A)

( A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A)

(B∪A)∩(C∪A) = (B∪A)∩(C∪A)

Simplificar:

1.- A ∪ [ (B ∩ (A ∪ B) ) ∩ (A ∪ (A ∩ B) ) ]

A ∪ [ (B ∩ A) ∪ (B ∩ B) ] ∩(A ∪ A) ∩ (A∪B)

A ∪ [ (B ∩ A) ∪ (B