APUNTES DE DISTRIBUCIONES COMUNES

...

Ejemplo.

Se sabe de informes médicos que el 10 % de los pacientes que contraen la cierta enfermedad a la sangre se logran recuperar. ¿ Cuántas personas será necesario examinar en promedio, para encontrar al primer infectado que se logra recuperar a la enfermedad? ¿Cuál es la probabilidad que sea necesario examinar a lo más 23 pacientes para encontrar el primero que se logra recuperar?

Solución.

Sea X = número de personas que son necesarias examinar hasta encontrar la primera que se logra recuperar de la enfermedad. Luego X∼G(0.10), así el número promedio de pacientes a examinar es de 10 para lograr encontrar el primero que logra recuperarse. Además tenemos que determinar P(X ≤ 23). Luego tenemos que:

es decir, la probabilidad de que sea necesario examinar a lo más 23 pacientes es de un 91,1 %.

DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA

Definición: Supongamos que realizamos ensayos Bernoulli independientes, con probabilidad de éxito p en cada ensayo. Si X es el número de ensayos necesarios para obtener el r-ésimo éxito ( r = 2, 3, ...), entonces X se llama variable aleatoria Binomial negativa de parámetros r y p.

Dado que se requieren al menos r ensayos para obtener r éxitos, el recorrido de X es RX ={r, r+1,...}. En el caso especial en que r = 1, la variable aleatoria binomial negativa se convierte en una variable aleatoria geométrica. Así, se puede probar que la función de probabilidades de X es dada por :

La propiedad de carencia de memoria de una variable geométrica implica lo siguiente. Sea X el número total de ensayos requeridos para obtener r éxitos. Sea X1 el número de ensayos extra para obtener el primer éxito, X2 el número de ensayos extra para obtener el segundo éxito, X3 el número de ensayos extra para obtener el tercer éxito y así sucesivamente. Entonces, el número total de ensayos requeridos parta obtener r éxitos es X = X1 + X2 + ... + Xr . Pero debido a la propiedad de la carencia de memoria, cada una de las variables aleatorias X1 , ...Xr ,tienen distribución geométrica con el mismo valor de p. En consecuencia, la variable aleatoria binomial negativa puede interpretarse como la suma de r variables aleatorias geométricas.

Recordemos que una variable aleatoria binomial representa el número de éxitos en n ensayos Bernoulli. Esto es, es el número total de ensayos está predeterminado, y lo aleatorio es el número de éxitos. Una variable binomial negativa es el conteo del número de ensayos necesarios para obtener r éxitos. Esto es, el número de éxitos está predeterminado y lo aleatorio es el número de ensayos. En este contexto se puede pensar que la variable binomial negativa es la opuesta a la binomial.

Si X es una variable binomial negativa se puede probar que su esperanza y varianza son :

Ejemplo.

Un basquetbolista efectúa repetidos lanzamientos desde la línea de tiros libres. Supongamos que sus lanzamientos son ensayos Bernoulli independientes con probabilidad de éxito p=0.70. ¿Cuál es la probabilidad que le tome menos de cinco lanzamientos para lograr su primera acierto? ¿Cuál es la probabilidad que le tome menos de cinco lanzamientos para lograr su segundo acierto?

Solución.

Sea X la variable que indica el número de lanzamientos hasta lograr el primer acierto. Entonces es claro que X∼G(0.7) y así tenemos que la primera pregunta es

es decir, la probabilidad de que tenga que realizar menos de cinco lanzamientos para lograr su primer éxito es de un 99.19 %.

Definamos ahora la variable Y como el número de lanzamientos hasta lograr el segundo acierto. Entonces Y∼bn(r = 2, p = 0.70) y la probabilidad de que realice menos de cinco lanzamientos hasta su segundo acierto es dada por: , es decir, la probabilidad pedida es de un 91.63 %.

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

Supongamos que tenemos un lote de N artículos, de los cuales M son defectuosos y ( N-M ) no son defectuosos. Supóngase que escogemos , al azar, n artículos del lote ( n ≤ N ), sin sustitución. Sea X el número de artículos defectuosos encontrados. Puesto que X = x si y sólo si obtenemos exactamente k artículos defectuosos (de los M artículos defectuosos del lote) y exactamente ( n- x ) no defectuosos (de los (N-M ) no defectuosos en el lote), tenemos

Se dice que una variable aleatoria discreta que tiene la distribución de probabilidades anterior tiene una distribución Hipergeométrica.

Si X tiene una distribución Hipergeométrica, entonces se puede probar que la esperanza y la varianza de X son

Ejemplo.

Un lote de piezas contiene 100 de un proveedor local de tubería, y 200 de un proveedor del mismo material, pero de otro estado. Si se eligen cuatro piezas al azar y sin remplazo. ¿Cuál es la probabilidad que todas provengan del proveedor local? ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del productor local?

Solución.

Sea X la variable que indica el número de partes en la muestra que son del proveedor local. Entonces X tiene una distribución Hipergeométrica y luego tenemos

Así, la probabilidad de que los cuatro artículos provengan del proveedor local es de un 1.2%.

es decir, la probabilidad de que al menos una pieza sea del productor local es de un 19.6%.

Observación.

- La distribución binomial es una buena aproximación de la distribución Hipergeométrica cuando el valor de M y N-M son grandes comparados con el tamaño de la muestra n. Recordemos que una de las características de la distribución Hipergeométrica es que las extracciones son realizadas sin sustitución; pero, si tanto M con N-M son suficientemente grandes, el hecho que el muestreo sea realizado con o sin sustitución no influye notoriamente en las probabilidades. Es decir, tenemos que

donde .

- En general, la aproximación de la distribución Hipergeométrica mediante la binomial es muy buena si .

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PROBLEMAS

1.