APUNTES DE MATEMÁTICA FINANCIERA

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La fórmula para calcular el interés simple es la siguiente:

[pic 1]

Donde:

I= interés

P= capital inicial.

i= tasa de interés periódica unitaria.

n= número de períodos.

En esta fórmula por facilidad de cálculo se usa la tasa unitaria periódica es decir:

[pic 2]

La tasa periódica de debe expresarse en los mismos términos temporales del periodo (si las tasas anual, los periodos deben estar expresado en años, si la tasa es mensual, los periodos deben estar expresados en meses, etc. Para este fin se recomienda dejar la tasa tal como está expresada y modificar el tiempo para que coincida con la tasa (1)

La utilidad de este procedimiento se verá más adelante cuando apliquemos el interés compuesto.

[pic 3]

Una disquisición importante

Cuando la tasa y el tiempo están expresados en los mismos términos temporales, como por ejemplo tasa anual y tiempo en años, o tasa mensual y tiempo en meses, no hay problema alguno y la fórmula puede escribirse como está.

Pero si la tasa y el tiempo no están expresadas en los mismos términos temporales caben dos posibilidades: expresar la tasa en los términos temporales del tiempo, o expresar el tiempo en los términos temporales de la tasa.

Cuando esto ocurre en el interés simple no hay diferencia alguna en el resultado, porque el orden de los factores no altera el producto.

Por alguna razón que desconocemos los teóricos de la matemática financiera optaron por adecuar la tasa a los términos temporales del tiempo.

Esto ocasionó un error de cálculo cuando se llevó el razonamiento al interés compuesto, porque en esa modalidad de cálculo el tiempo se convierte en exponente en cuyo caso no tiene la misma connotación que un factor. Los cálculos con este error de razonamiento nos conducen a resultados erróneos

Ejemplo numérico

Calcular el interés simple de un capital de S/. 250.000,00en cinco meses a la tasa unitaria anual de 0,12 (12% anual)

Los datos son:

P=S/.250 000,00

i= 0,12 unitaria anual

n= 5 meses= 5/12 años.

Hemos realizado la sencilla operación de expresar los cinco meses en términos de años, ahora ya coincide la tasa anual con el tiempo expresado en años y podemos realizar el cálculo aplicando la fórmula[pic 4]

i=Pin[pic 5]

I=250 000, 00 x 0, 12 x 5/12[pic 6]

I= S/. 12 500, 00

NTERÉS COMPUESTO

DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DEL FACTOR SIMPLE DE CAPITALIZACIÓN (FSC).

Las variables a utilizar son las siguientes

I= Interés

P= Capital inicial, Capital, Valor Actual, Valor Actual Neto (VAN).

S= Capital Final, Monto,

n= número de períodos.

i= tasa de interés unitaria por cada período (tanto por 1 =%/100)

En el período 1

I= Pi Interés en 1 período =Capital inicial x tasa unitaria

S1= P+I Capital Final = Capital inicial + Interés.

S1= P+Pi Reemplazando I por su valor.

S1= P (1+i) Factorizando. (Capital Final al fin del período 1)[pic 7][pic 8]

En el período 2

S2= S1 (1+i) Capital Final al término del período 2[pic 9]

S2= (P1 (1+i)) (1+i) Reemplazando el valor del capital inicial.

S2=P1 (1+i)2 Capital Final al término del período 2.[pic 10]

De lo que se deduce que:

Sn=P (1+i)n

El término (1+i)n Es el Factor Simple de Capitalización al fin del período n

Con lo que hemos demostrado que, en el interés compuesto el tiempo (n) se convierte en exponente.

Por lo que si la tasa está expresada en términos anuales y el período en días la fórmula del factor simple de capitalización se convierte en: [pic 11]

[pic 12][pic 13]

Esto demuestra que la fórmula:[pic 14][pic 15]

[pic 16][pic 17]

Es un despropósito ya que realiza la división en la tasa y se eleva a la potencia años multiplicada por el divisor 360 que distorsiona el resultado, y como no hubo forma de explicar esta distorsión, se creó el término de “tasa nominal” para tratar diferenciar de la tasa efectiva. La verdad es que existe una sola tasa de interés que es efectiva para su periodo la misma que al calcular correctamente no provoca distensión alguna que se calcula por sub periodos.

Las otras tasas no son más que errores de cálculo. Motivo por el que no consideramos conveniente estudiarlas.

Tasa efectiva de interés

Es una tasa de interés, que se producirá la tasa expresada para un periodo (ejemplo 5% anual) con independencia de los períodos de capitalización y la forma de cobro adelantado o vencido.

Es decir: Si se conviene en una tasa efectiva de interés anual por ejemplo 5%, el costo financiero de esa operación siempre será 5% por año con independencia de que capitalicemos en forma anual, mensual ,quincenal, diaria ,o instantánea.

Asimismo el coste financiero será 5% anual así se cobren los intereses ha tenido vencido