Analizar cuándo y cómo aplicar el método de integración por partes

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Derivar

Integrar

u = f ( x)

dv = g( x)dx

du = f ′(x)dx

v = ∫ g ( x)dx

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Estrategia para integrar por partes

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P R O F E S I O N A L

▪ Intentar tomar como dv=g(x)dx la porción más complicada del integrando que se ajuste a una regla básica de integración y como u=f(x) el factor restante del integrando.

▪ Intentar tomar como u=f(x) la porción del integrando cuya derivada es una función más simple que u=f(x), y como dv=g(x) el factor restante del integrando.[pic 28][pic 29][pic 30]

▪ Si en esta selección la función a integrar es más complicada que la original, se intercambia el valor de u=f(x) y dv=g(x).

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Estrategia para integrar por partes

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P R O F E S I O N A L

▪ Por lo general para seleccionar la función que es u, se aplica el acrónimo LATE, en orden, verificar el integrando donde hay una parte.

• L representa las funciones logarítmicas (tales como lnx)

• A representa a las funciones algebraicas (tal como:

x,x2,…)[pic 31][pic 32][pic 33]

• T representa las funciones trigonométricas (tales como:

Senx, Cosx, …)

• E representa a las funciones exponenciales (tales como:

ex, ax)

Si utilizas esta clave, se te facilitará la técnica de

integración por partes.

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Ejemplo 1. Resuelve

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∫ xCosxdx

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P R O F E S I O N A L

Solución: si aplicamos la palabra LATE, entonces A= x y T= Cosx , ya que en la palabra va primero la letra A, entonces tiene prioridad de ser u la función algebraica.

Aplicamos el recuadro y obtenemos que:

Derivar

Integrar

u = x

dv = Cosxdx

du = 1dx

v = ∫ Cosxdx = Senx

Reemplazamos estos valores en la fórmula para integrar por partes y obtenemos que:[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

, al integrar se obtiene que

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x P R O F E S I O N A L

Ejemplo 2. Resuelve ∫ xe dx _

Solución: si aplicamos la palabra LATE, entonces A= x y E= e x , ya que en la palabra va primero la letra A, entonces tiene prioridad de ser u la función algebraica.

Aplicamos el recuadro y obtenemos que:

Derivar

Integrar

u = x

dv = e xdx

du = 1dx

v = ∫e xdx = e x

Reemplazamos estos valores en la fórmula para integrar por partes y obtenemos que:[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]

∫udv = uv − ∫vdu

∫ xe xdx = ( x)(e x ) − ∫(e x )dx , al integrar se obtiene que

∫ xe xdx = ( x)(e x ) − e x + C

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Cierre

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P R O F E S I O N A L

De acuerdo a lo analizado en este tema, reflexiona y responde las siguientes preguntas:

▪¿Cuándo se aplica la integración por partes?

▪¿Qué condición es necesaria para aplicar la integración por partes?[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]

▪Menciona algunas estrategias que te ayudarían en la aplicación de la técnica de integración por partes

Ahora ya sabes aplicar la técnica de integración por partes. Estás listo para comprender el tema de integración por sustitución trigonométrica.

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Referencias bibliográficas

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