JUEGOS COOPERATIVOS.

...

Para todo es . Ello implica que tiene todos sus componentes menores o iguales que cero. En particular .[pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

Sea una imputación del juego que no pertenezca al core .Existirá al menos una coalición tal que . Por tanto, Por tanto, tiene al menos un componente positivo, por lo que [pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]

Por ello,[pic 61]

Como el conjunto de imputaciones es no vacío al ser el core no vacío, el nucleolus existe y es único, por lo que el único elemento del nucleolus pertenece al core.

2.- A partir de la demostración anterior es inmediato que si en particular, el core es unitario se verifica que.[pic 62]

3.-Demostramos la propiedad por reducción al absurdo.

Sea [pic 63]

Supongamos que fuera , siendo jugadores simétricos.[pic 64][pic 65]

Sea , donde solo hemos intercambiado [pic 66][pic 67]

Al ser dos imputaciones del juego e jugadores simétricos, será .[pic 68][pic 69][pic 70]

Como es el nucleolus, se cumple que:[pic 71]

[pic 72]

[pic 73]

Por tanto, pertenecen al nucleolus, lo que contradice la unicidad.[pic 74]

4.-Distinguimos dos casos:

a) Supongamos que el core es vacío. Entonces por 1) es Por tanto, se cumple que:[pic 75]

[pic 76]

Si es un jugador pasivo se cumple que por lo que se deduce que [pic 77][pic 78][pic 79]

b) Supongamos que el core es vacío.

Supongamos que es un jugador pasivo . Al ser el nucleolus, es una imputación por lo que se verifica Veamos, por reducción al absurdo, que no puede ser Supongamos que lo fuera.[pic 80][pic 81][pic 82][pic 83]

Se define [pic 84]

Se considera la imputación ) con:[pic 85]

[pic 86]

Si [pic 87]

Si [pic 88]

[pic 89]

(en donde es el número de jugadores que componen la coalición .[pic 90][pic 91]

Si [pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

Como el core es vacío se verifica que , ya que la imputación no puede pertenecer al core,Como:[pic 95][pic 96]

[pic 97]

Resulta que, lo que está en contra de que N es el nucleolus.[pic 98]

EJEMPLO DE NUCLEOLUS

Calculemos el nucleolus del siguiente juego con tres jugadores:

[pic 99]

[pic 100]

En primer lugar, se cumple la condición para que el nucleolus exista y sea único ya que:

, pues 1 + 2 + 1 ≤ 4[pic 101]

En este juego se ha comprobado que todos los jugadores son pasivos. Se tiene que el nucleolus es , con .[pic 102][pic 103]

Por tanto,

[pic 104]

SHAPLEY

El valor de Shapley puede interpretarse como la contribución marginal esperada de cada jugador al entrar en una coalición al azar. En efecto, el factor es la contribución marginal efectiva de al incorporarse a , mientras que el factor es la probabilidad de que a le toque incorporarse precisamente a .[pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110]

El reparto que propone el Valor de Shapley asigna a cada jugador el promedio de sus contribuciones marginales a cada posible coalición. En este tipo de juegos, las contribuciones marginales de un jugador se entienden como el coste que supone a una coalición la incorporación de dicho jugador, y vienen determinadas por la suma de los costes de los tramos de red que lo conectan, bien directamente con el proveedor, bien con otro jugador de la coalición ya conectado con el proveedor. Así, si un jugador decide empezar a formar una coalición, en principio ha de pagar el mantenimiento de todos los tramos de red que lo conectan a la fuente. Sin embargo, si decide unirse a una coalición de un único jugador deberá aportar el pago de todos los tramos de red que lo conectan a la fuente, salvo aquellos que hayan sido costeados por el jugador que inició la coalición. Por tanto, si consideramos sucesivamente todos los posibles órdenes de llegada de un jugador a las coaliciones, observamos que cada jugador deberá pagar una parte del mantenimiento cada uno de los tramos de red que necesita para llegar hasta el proveedor. Es más, como no podemos diferenciar los usuarios de un mismo tramo de red, dicha proporción a pagar será igual para cada uno de ellos. Se deduce, por tanto, que en un Juego de Mantenimiento de una Red de Abastecimiento el Valor de Shapley nos proporciona una asignación del coste total de la red de distribución tal que el coste de cada arista se reparte a partes iguales entre todos los usuarios de la misma. Debido a la caracterización establecida anteriormente para el Núcleo podemos asegurar que el Valor de Shapley de este tipo de juegos es un reparto del Núcleo.

EJEMPLO DE VALOR DE SHAPLEY

Ejemplo: Shapley (1987)

Un ganadero tiene una vaca que puede vender en el mercado, obteniendo un beneficio de una unidad. Para poder venderla es imprescindible que la vaca pase por la finca de uno de sus dos vecinos. Representar la situación como un juego en forma coalicional.

Solución:

Podemos representar el juego de la siguiente forma:

[pic 111]

En donde

[pic