MODELO INDEX Y MULTIFACTOR

...

((1/n)[pic 8]βi) Rm + (1/n)[pic 9]ei

donde:

αp = (1/n)[pic 10]αi

βp = ((1/n)[pic 11]βi) Rm

ep = (1/n)[pic 12]ei

y donde:

σ2p = β2pσ2m + σ2(ep)

Diversificando podemos lograr que σ2(ep) = 0 = (1/n) σ(-2)(ep) (cuando n tiende a infinito, esa expresión tiende a cero)

[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

10.2. El CAPM y el modelo index

CAPM: E(ri) = rf + βi(E(rm) – rf)

Modelo Index: Ri = αi + βiRm + ei

Partiendo del modelo index, cov(Ri , Rm) = cov(αi + βiRm + ei , Rm) = βi cov(Rm , Rm)

= βiσ2m

por lo que βi = cov(Ri , Rm)/σ2m , que corresponde al mismo beta del CAPM.

Ahora, partiendo nuevamente del modelo index y poniendo esperanza (e ignorando E(ei), ya que es cero): E(ri) - rf = αi + βi(E(rm) – rf). Esta ecuación testeada empíricamente es igual a la ecuación del CAPM solo si αi = 0.Efectivamente se testeó esta ecuación en diversas empresas, y pese a que en algunos momentos del tiempo, los alfas eran diferentes de cero, estos en la mayor parte de las observaciones eran significativamente iguales a cero. Aquí habla de un estudio de Michael Jensen que mostró que los alfas de distintos fondos mutuos entre 1945 y 1964 se distribuían alrededor de cero.

Existe también otra ecuación llamada market model: ri - E(ri) = βi(rm – E(rm)) + ei. Si reemplazamos E(ri) por rf + βi(E(rm) – rf) la ecuación nos queda igual al Index Model, por lo que solo representa una variación a éste modelo.

10.3. La versión industrial del Index Model.

Una vez más, con el ejemplo de General Motors, sin información privada uno debería esperar que: E(rGM) = rf + βGM(E(rm – rf)). Los datos necesarios para estimar esta ecuación se obtienen históricamente. En general se suele usar una “proxy” del portafolio de mercado, que suele ser el S&P500.

Merry Lynch usa la siguiente regresión para estimar sus datos: r = a + brm + e* , en vez de r – rf = α + β(rm – rf) + e (que reescrita sería r = α + rf(1 - β) + βrm + e ). Como podemos apreciar, en la ecuación de Merry Lynch el término “a” es una estimación econométrica de α + rf(1 - β).

El R2 (coeficiente de determinación) de la ecuación de Merry Lynch es igual a la varianza sistemática dividida en la varianza total, es decir β2σ2m/σ2 , y dado que σ2 = β2σ2m + σ2(e), (despejando β y reemplazando en la primera) podemos reescribir el R2 como 1 – (σ2(e)/ σ2.)

Merry Lynch usa un sistema de beta ajustado que es (2/3)β + (1/3)1, de modo que:

E(rGM) = rf + βajustado(E(rm – rf))

σ2 = (σ2GM(e)/(1 – R2))1/2

y estimando betas:

beta actual = a + b1(beta pasado) + b2(tamaño de la firma) + b3(razón de deuda) ó

beta actual = a + b(beta pasado) ó

beta pronosticado = a + b(beta actual).

La estimación anterior de los betas va a depender de factores como: variabilidad de las ganancias, variabilidad del flujo de caja, crecimiento de las ganancias, capitalización de mercado (tamaño de la firma), dividend yield, razón deuda/activo, etc.

10.4. Modelos multifactoriales.

Aun cuando el index model es convincente, notamos que se muestra la sensibilidad con el beta por una determinada

Para obtener R2 más grandes se necesita introducir al modelo más variables de manera que el ajuste sea más perfecto, como por ejemplo:

Rt = α + βGDPGDPt + βIRIRt + et

donde: GDPt = Crecimiento del producto doméstico

IRt = tasas de interés

En un modelo estimado por Chen, Roll y Ross:

Rit = αi + βiIPIPt + βiEIEIt + βiUIUIt + βiCGCGt + βiGBGBt + eit

donde: IP = Δ% en la producción industrial

EI = Δ% en la inflación esperada

UI = Δ% en la inflación inesperada

CG = Exceso de retorno de los bonos corp de LP sobre los bonos de gob de LP

GB = Exceso de retorno de los bonos de gob de LP sobre los T-bills

En el modelo de Fama y French...... (ese está visto en clases, es el que tiene como variables SMB y HML)