TALLER 5 RESOLUCION DE PROBLEMAS

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Ya que ambas fracciones son iguales a la razón entre velocidad de la segunda anciana y de la de la primera. De esta ecuación se obtiene fácilmente que amaneció a las 6 am.

- En una pradera la grama crece continua y uniformemente. Se sabe que 70 vacas se comerían la grama completamente en 24 días, y que 30 vacas se la comerían en 60 días. ¿Cuántas vacas serían necesarias para acabar con la grama en 96 días? (Este problema se atribuye a Isaac Newton).

Respuesta: Hay que tomar en cuenta el crecimiento de la grama. Llame G a la cantidad inicial de grama, g al crecimiento diaria de la misma y d a la cantidad de grama que cada vaca come en un día.

G + 24g = 70 x 24,

G + 60g = 30 x 60,

Se obtiene g = 10/3 y G = 1600. El numero x de vacas que acabarían con toda la grama en 96 días debe satisfacer 96x = G + 96g = 1920, de donde x = 20.

La respuesta es 20 VACAS.

- Calcule el valor de la suma 1 + 2 + 3 +… + n2 .

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- Calcule el valor de la suma 1 + 2 + 3 +… + n3 .

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- Una hoja rectangular de papel milimetrado tiene 167 mm de ancho y 489 mm de altura. Se traza una línea recta desde un vértice hasta el vértice opuesto. ¿Cuántos cuadraditos son atravesados por la línea?

Respuesta: Primero se debe determinar si la diagonal pasa por algún nodo interior de la cuadricula, y después se considera por donde sale la línea de cada cuadradito.

- Pruebe que cualesquiera 39 números naturales consecutivos incluyen al menos uno tal que la suma de sus dígitos es divisible entre 11.

Respuesta: Un número es divisible entre 11 cuando la suma de los números que ocupan la posición parmenos la suma de los números que ocupan la posición impar es igual a 0 o a un número múltiplo de 11

Números naturales consecutivos: 5862-5901

Numero: 5863

Para saber si 5863 es divisible entre 11, identificamos cuáles son las cifras que ocupan las posiciones pares y las que ocupan las posiciones impares.

Posición par: 5 y 6. Los sumamos: 5 + 6 = 11 Posición impar: 8 y 3. Los sumamos: 8 + 3 = 11

11 – 11 = 0, por lo tanto 5863 es divisible entre 11.

- Se supone que 5 personas conocen, cada una, informaciones parciales diferentes sobre cierto asunto. Cada vez que la persona A telefonea a la persona B, A le da a B toda la información que conoce en ese momento sobre el asunto, mientras que B no le dice nada de él. ¿Cuál es el mínimo número de llamadas necesarias para que todos lo sepan todo sobre el asunto? ¿Cuántas llamadas son necesarias si son n personas?

Respuesta: Primero probaremos que para n personas 2n−2 llamadas son suficientes. Enumeremos las personas desde 1 hasta n. Si se efectúan las llamadas 1 a 2, 2 a 3,. . ., n−1 a n, la persona n posee toda la información. Luego las llamadas n a 1, n a 2,. . ., n a n−1 hacen que todas posean la información completa. Veamos ahora la necesidad. Consideremos el momento en que alguien recibe por primera vez toda la información. Las demás n − 1 personas deben haber hecho al menos una llamada hasta ese momento. Por otra parte, a partir de dicho momento las n − 1 personas restantes deberían recibir al menos una llamada para completar su información. Luego el número de llamadas necesarias es al menos 2n − 2.