El objetivo de este trabajo es: Conocer en torno al marco teórico en que consiste la escuela de Elea y cada una de las tres paradojas de Zenón: La flecha caminante, Aquiles y la tortuga y Dicotomía. Dar su respectiva explicación matemática y punto de

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Desde el punto de vista matemático, el concepto que subyace a la paradoja es el de serie, más precisamente, la existencia de las series convergentes. Lo que aplica a la situación que plantea la paradoja es que la suma de infinitos términos puede ser finita. Si se suman los segmentos recorridos por Aquiles se obtiene una serie geométrica convergente:[pic 4]

Dr. Brizuela dice:

Aquiles recorre 1 intervalo en un minuto y la tortuga 1/10 de intervalo en el mismo tiempo, Aquiles recorrerá 1+1/10+1/100+1/1000+...=? Desde luego esta suma no da una distancia infinita que requiere infinito tiempo recorrer, sino una distancia concreta: 1,111111111… intervalos. Y eso Aquiles lo hace en mas o menos un minuto .

Dicotomía

Esta paradoja, conocida como argumento o paradoja de la dicotomía, es una variante de la anterior.

Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento, lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que lo separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardará un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro... De este modo, la piedra nunca llegará al árbol.

Al igual que en la paradoja de Aquiles y la tortuga, es cierto que el número de puntos recorridos (y tiempos invertidos en hacerlo, según el argumento de la paradoja) es infinito, pero su suma es finita y por tanto la piedra llegará al árbol. Es posible utilizar este razonamiento, de forma análoga, para «demostrar» que la piedra nunca llegará a salir de la mano de Zenón.

Por eso, la paradoja de la piedra también puede ser planteada matemáticamente usando series infinitas. Las series infinitas son sumas cuyo término variante (que puede tomar cualquier valor numérico) va hasta el infinito. Las series infinitas pueden ser convergentes o divergentes, en el primer caso la suma de las mismas es un número finito, en el segundo no.

Para plantear una serie que modele la paradoja de la piedra se hace una serie que sume la mitad, luego la mitad de la mitad, luego la mitad de la mitad de la mitad y así, hasta el infinito:

[pic 5]

La serie que se plantea es una serie geométrica, por lo que su suma puede ser calculada con la siguiente fórmula:

Suma = [pic 6]

En la sumatoria de la paradoja de Zenón, «a» es [pic 7]y «r» es la razón de incremento (producto), que es [pic 8]. Sustituyendo esos valores en la fórmula de suma se tiene:

Suma = [pic 9]

Entonces se tiene que la suma de la mitad de «algo» más la mitad de la mitad de «algo» y así sucesivamente da 1, «algo» completo. Esto también es aplicable a la paradoja, la mitad de la distancia, más la mitad de la mitad de la distancia y así sucesivamente da como resultado la distancia entera. Por lo tanto se concluye que, recorriendo infinitas mitades es posible recorrer toda la distancia.

Dr. Brizuela dice:

Al trabajar con las mitades de “algo” hay un punto en el que el tiempo disminuye tanto que se empieza a detener; y eso no es posible. Sin embargo si hacemos tiradas infinitas la piedra llegará al árbol.

CONCLUSION: El propósito de Zenón al hacer estas paradojas, era poner a pensar a los filósofos de aquella época; aunque muchas personas de hoy en día siguen debatiendo estas paradojas debido a los avances de las matemáticas, que permiten demostrar que haciendo cálculos con cantidades infinitas, se llega a una respuesta infinita. Una cosa muy importante es que dicho filósofo quería demostrar que las cosas no son como a veces aparentan y que lo infinitamente grande e infinitamente pequeño, existe.