“El futuro que construimos juntos” Demostraciones

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Demostración por inducción

Sea P(n) una propiedad relacionada con el número natural n.

– Se demuestra que P(1) es cierta.

– Se prueba que si P(k) es cierta, entonces P(k+1) también lo es.

En ese caso, la propiedad P(n) es válida para cualquier n Є N.

En una demostración por inducción matemática se demuestra un único “caso base” y también una “regla de inducción”, la cual establece que un cierto caso implica el siguiente. Aplicando esto repetidamente, empezando del caso base“P(1)” para luego ir probando con variaciones del mismo “P(k)” y “P(k+1)” se obtiene que como el caso base es verdadero, el infinito de los otros casos debe también serlo, incluso si todos ellos no pueden ser probados directamente dada su infinitud. Un subconjunto de inducción es infinitamente descendiente.

Una aplicación común de la inducción matemática es la de probar que una propiedad conocida por mantenerse para un número se mantiene se mantiene para todos los naturales.

Demostración reciproca

Para probar que una propiedad A es verdadera, se supone que A es falsa y se llega a una contradicción. Evidentemente, empleamos el hecho de que una proposición en Matemáticas ó es verdadera ó es falsa, pero no ambas cosas a la vez. Hay que decir que este recurso era muy querido por los matemáticos griegos. Hay quienes opinan que es preferible dar, si es posible, demostraciones directas, para de esa forma no confundir al alumno con tantas suposiciones que lleguen a crearle una sensación de falta de control en el razonamiento, al no poder saber en cada momento qué es cierto o qué es falso.

Demostración por contrarrecíproco

Este mecanismo de demostración se basa en el hecho de que la implicación A B esequivalentemente lógica a NO B NO A. Este mecanismo es aconsejable cuando no sabemoscómo trabajar a partir de la hipótesis A y, en cambio, la negación de B proporciona un buen punto de partida. No se debe confundir el con el mecanismo de reducción al absurdo.

Demostración por reducción al absurdo

Para probar que una propiedad A es verdadera, se supone que A es falsa y se llega a una contradicción. Evidentemente, empleamos el hecho de que una proposición en Matemáticas ó es verdadera ó es falsa, pero no ambas cosas a la vez. Hay que decir que este recurso era muy querido por los matemáticos griegos. Hay quienes opinan que es preferible dar, si es posible, demostraciones directas, para de esa forma no confundir al alumno con tantas suposiciones que lleguen a crearle una sensación de falta de control en el razonamiento, al no poder saber en cada momento qué es cierto o qué es falso.

3.2 Demostración Geométrica

3.2.1 Teorema de Pitágoras

Hipótesis:

- Un gran cuadrado, de lado a+b y área:

A = (a+b)(a+b)

- El cuadrado tiene dentro otro cuadrado “ABCD”

- Primero, el cuadrado pequeño (inclinado) tiene área A = c²

- Hay cuatro triángulos, cada uno con área A =½ab

- Si sumamos el cuadrado inclinado y los 4 triángulos da: A = c²+2ab

- El área del cuadrado grande es igual al área del cuadrado inclinado y los 4 triángulos. Esto lo escribimos así: (a+b)(a+b)=c2+2ab[pic 3]

Tesis:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de a más el cuadrado de b es igual a el cuadrado de c.

a2+b2=c2

Demostración:

- (a + b)(a + b) = c² + 2ab /Hipotesis1,5 y 6

- a² + 2ab + b² = c² + 2ab /Desarrollo y reducción

- a² + b² = c²

Q.E.D

3.2.2 teorema del ángulo exterior de un triángulo

Hipótesis:

1) Sea Δ ABC un triángulo cualquiera y [pic 4]ACD un ángulo exterior del mismo

2) En Δ ABC, a+b+c=180°

3) d+b=180°

Tesis: [pic 5]ABC+[pic 6]BAC=[pic 7]ACD

Demostración

- a+b+c=b+d /Hipótesis 2 y 3

- a+b-b+c=d /Reducción de términos semejantes

- a+c=d

- [pic 8]ABC+[pic 9]BAC=[pic 10]ACD

-

Q.E.D

3.2.3 Teorema de Euclides[pic 11]

En referencia a la altura

Hipótesis:

- Δ ABC es rectángulo en C

- = h altura del ∆ABC[pic 12]

- ∆ACD ∆CBD[pic 13]

- Los segmentos = c; = a; = b; = h; = p; = q[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

Tesis:

h2= p ∙ q

Demostración:

- /Hipótesis 3[pic 20]

- = / Teorema fundamental de las proporciones[pic 21][pic 22]

- 2= / Reducción de términos y posterior reemplazo[pic 23][pic 24]

- h2= p ∙ q

∴ = p q ∎ Q.E.D[pic 25][pic 26]

En relación a la altura

Hipótesis:

- Δ ABC es rectángulo en C

- = h altura del ∆ABC[pic 27]

- ∆ACD ∆CBD[pic 28]

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