Estado del arte. Teoría de los Números complejos

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A muy temprana edad escolar, descubrimos aquellos números enteros que, más complicadamente, llamamos números enteros positivos . El número cero, que defino como un número híbrido por carecer de signo algebraico o , es por sí sólo, un conjunto definido sobre el conjunto de los números enteros , es otro concepto de número entero que se aprende rápidamente. En esta dirección, la adición y el producto del , las dos únicas operaciones básicas de la aritmética cuyo resultado es siempre otro número entero o también cero, lo aprendemos en la escuela fundamental.[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

Además, se estudia como una operación inversa de la suma a la sustracción; evidentemente, los ejercicios se eligen cuidadosamente; p.ej., se puede pedir la diferencia de 10 menos 3, pero no así, el de 3 menos 10. Fácilmente podemos observar que las diferencias siempre estarán contenidos sobre el o en su caso será cero. Transcurrido algunos años posiblemente se pueda pedir al mismo alumno determine la diferencia de 3 menos 10 u otras operaciones en la misma dirección. Esto exigirá el concepto de enteros negativos, i.e., el conjunto de los enteros negativos .[pic 34][pic 35]

El , sin duda es la extensión de la reunión del con el . Sin embargo, y para prescindir algunas inconsistencias, se requerirá aceptar una regla que resulta poco atractiva a nuestra intuición, i.e., aquellas como que un número negativo por otro es negativo es positivo; por citar, . Así es que, con el el alumno será competente para efectuar cualquier operación de adición, multiplicación o sustracción y, obtener siempre un total, producto o diferencia perteneciente al .[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

En la misma dirección, podremos explicitar digamos, el número indeterminado de algunas operaciones algebraicas fundamentales, tales como, , y obtener un resultado entero. Sin embargo, otras ecuaciones algebraicas que implican la operación inversa definida como división, presentan mayores dificultades. P.ej., en la ecuación , el estudiante en algunas ocasiones obtiene como resolución un . Si esto no ocurre, entonces utiliza un número racional de la forma es a ; i.e., .[pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

Con el conjunto de los números racionales , el aprendedor puede resolver cualquier ecuación algebraica lineal, que desde luego tendrá un resultado definido por otro número racional. Un poco más adelante el alumno aprenderá lo que son los números . Este conjunto perteneciente también al conjunto de los números reales ; tiene su origen germinal en las ecuaciones algebraicas donde los números indeterminados tienen potencia mayor que uno, y que el número dentro del radical no conduzcan a un número áureo, i.e., ; digamos ; y de la geometría que se desprende, p.ej., del cociente de la circunferencia entre su diámetro que es igual a .[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

En el caso particular de que , el número indeterminado expresado por , resultará ser un número racional en cualesquiera de sus formas. Como consecuencia, el que estudia, aprende que el número puede redefinirse y escribirse como que necesita de una infinidad de dígitos para quedar completamente establecido. Por esta razón se les llama a este tipo de números, infinitos. Por lo cual, por tercera ocasión, el alumno se ve obligado en ampliar su campo del conocimiento de los números. Generalizando, todos los números con radicales, de ángulos y ; son no-racionales.[pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

De todo lo anterior, se concluye que el se complementan con el conjunto de los números no racionales , i.e., todos aquellos números cuya representación requiere parte decimal con un número infinito de dígitos que no se repiten. Por consiguiente, a la reunión del conjunto de los números racionales con los no-racionales, i.e., ; conceptualizan el conjunto de los números reales . Con todo, los problemas no han terminado.[pic 62][pic 63][pic 64][pic 65]

Porque para la ecuación , los que aprenden obtendrán la resolución de ; por lo contrario, si la ecuación la modificamos por , éstos se encontrarán con nuevas complicaciones, porque no existe un número real alguno que al multiplicarse por sí mismo resulte un número real negativo. Para afrontar esta situación se presenta, generalmente en la Enseñanza Media Básica (EMB), un conjunto de números mucho más grande llamado el conjunto de los números complejos . Este conjunto no sólo permite resolver ecuaciones como o también, , sino que además, ecuaciones polinomiales de la forma[pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71]

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Donde son números complejos, y es un término indeterminado.[pic 73][pic 74][pic 75]

Conceptualización

Definición. La necesidad de emplear números complejos, es porque existen una infinidad de problemas que no tienen resolución en el campo real o como ya hemos expresado, es también para extraer raíces de grado par del . En esta dirección, podemos asegurar que no existe ningún número real positivo o negativo que pueda ser considerado como igual a .[pic 76][pic 77][pic 78]

Así que, tomando uno de los varios criterios que existen para conformar una exposición rígida, definimos un número complejo o binario, como una pareja de números reales , mismos que representaremos simbólicamente como . En esta dirección, es la parte real, mientras que, la parte imaginaria; i.e.,[pic 79][pic 80][pic 81][pic 82]

.[pic 83]

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Fig. (1). Representación de los ejes real e imaginario,

sobre el plano de Argand .[pic 86]

Las operaciones fundamentales

Proposición. Supongamos que , y consideremos todas las parejas ordenadas pertenecientes al plano .[pic 87][pic 88][pic 89]

El número complejo se le llama a la representación aritmética definida por la siguiente forma[pic 90]

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Fig. (2). Representación